Đành giải tạm bằng nick này vì sợ một vài thành phần trẻ trâu anti phá phách :poor:

Phân tích và giải

Dễ thấy: Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)

\(\Rightarrow L=Σ\dfrac{a}{\left(a+1\right)^2}=\dfrac{3}{4}\text{ và }F=-\dfrac{4}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}=-\dfrac{1}{2}\)

Khi đó \(VT=L-F=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)

Ta sẽ chia làm 2 bước cm:

B1: \(Σ\dfrac{a}{\left(a+1\right)^2}\le\dfrac{3}{4}\). Ta xét BĐT :

\(\dfrac{a}{\left(a+1\right)^2}=\dfrac{a}{a^2+2a+1}\le\dfrac{3\left(a^{2k}+a^k\right)}{8\left(a^{2k}+a^k+1\right)}\) (cần tìm \(k\) thỏa mãn)

\(\Leftrightarrow8a\left(a^{2k}+a^k+1\right)-3\left(a^{2k}+a^k\right)\left(a^2+2a+1\right)\le0\)\(\Leftrightarrow f\left(a\right)=-3a^{2k}+2a^{k+1}-3a^{k+2}+2a^{2k+1}-3a^{2k+2}-3a^k+8a\)

\(\Rightarrow f'\left(a\right)=2k\cdot-3a^{2k-1}+\left(k+1\right)2a^k-\left(k+2\right)3a^{k+1}+\left(2k+1\right)2a^{2k}-\left(2k+2\right)3a^{2k+1}-k\cdot3a^{k-1}+8a\)

\(\Rightarrow f'\left(1\right)=0\Rightarrow-12k=0\Rightarrow k=0\)

Hay BĐT phụ cần tìm là \(\dfrac{a}{a^2+2a+1}\le\dfrac{3\left(a^{2\cdot0}+a^0\right)}{8\left(a^{2\cdot0}+a^0+1\right)}=\dfrac{1}{4}\) (bài này \(k\) đẹp ra luôn \(\farac{1}{4}\) cộng vào là ok =))

\(\Leftrightarrow-\dfrac{\left(a-1\right)^2}{4\left(a+1\right)^2}\le0\) *Đúng* \(\RightarrowΣ\dfrac{a}{\left(a+1\right)^2}\leΣ\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)

B2: CM \(-\dfrac{4}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\le-\dfrac{1}{2}\)

Tự cm nhé Goodluck :v

đây là hệ số bất định

Một lời giải sơ cấp:

Đổi \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\).BDT cần chứng minh tương đương:

\(\sum\dfrac{xy}{\left(x+y\right)^2}-\dfrac{4xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{3}{4}-\sum\dfrac{xy}{\left(x+y\right)^2}\right]+\left[\dfrac{4xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}-\dfrac{1}{2}\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left[\dfrac{1}{4}-\dfrac{xy}{\left(x+y\right)^2}\right]-\dfrac{\sum\left(x^2+y^2\right)z-6xyz}{2\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{\left(x-y\right)^2}{4\left(x+y\right)^2}-\dfrac{\sum z\left(x-y\right)^2}{2\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(x-y\right)^2\left[\dfrac{1}{4\left(x+y\right)^2}-\dfrac{z}{2\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\right]\ge0\)

hay \(S_a\left(y-z\right)^2+S_b\left(z-x\right)^2+S_c\left(x-y\right)^2\ge0\)(*)

với \(\left\{{}\begin{matrix}S_a=\dfrac{1}{4\left(y+z\right)^2}-\dfrac{x}{2\prod\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}{4\left(y+z\right)^2\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\\S_b=\dfrac{1}{4\left(x+z\right)^2}-\dfrac{y}{2\prod\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}{4\left(x+z\right)^2\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\\S_c=\dfrac{1}{4\left(x+y\right)^2}-\dfrac{z}{2\prod\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}{4\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy \(S_a;S_b;S_c\) không phải là luôn không âm.Giả sử \(x=max\left\{x;y;z\right\}\).

Từ đó suy ra \(S_a\ge0\).Xét \(S_b+S_c=\dfrac{\left(y-z\right)^2}{4\left(x+y\right)^2\left(x+z\right)^2}\ge0,\forall x;y;z>0\)

Do đó \(VT=S_a\left(x-y\right)^2+\left[S_b\left(z-x\right)^2+S_c\left(x-y\right)^2\right]\ge0\)

Ta sẽ chứng minh \(S_b\left(z-x\right)^2+S_c\left(x-y\right)^2\ge0\) với \(S_b+S_c\ge0\)

và điều này đúng hay không e không biết, quan trọng là .. Chúc Mừng Năm Mới !!

a. \(\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4}\right)\le x\le\dfrac{1}{24}.\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\right)\)

\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{13}{12}\le x\le\dfrac{1}{24}.0\) ( lười viết nên điền kết quả luôn )

\(\dfrac{-7}{12}\le x\le0\)

\(0,5833...\le x\le0\)

Vì \(x\in Z\)\(\Rightarrow x\in\left\{0\right\}\)

Vậy...

b. \(-4\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}\right)\le x\le\dfrac{-2}{3}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}\right)\)

\(\dfrac{-26}{9}\le x\le\dfrac{1}{36}\)

\(-2,8888...\le x\le0,277...\)

Vì \(x\in Z\Rightarrow x\in\left\{-2;-1;0\right\}\)

Vậy ...

\(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a-b}\)

=>\(\dfrac{b-a}{ab}=\dfrac{1}{a-b}\)

=>\(-\left(a-b\right)^2=ab\)

Vì a;b>0 nên ab>0

=>\(\left(a-b\right)^2=-ab\)

Mà -ab<0 ;\(\left(a-b\right)^2\)lớn hơn bằng 0 nên

Ko tìm đc gtri nào của a;b thỏa mãn đề bài

Lời giải:

BĐT cần CM tương đương với:

\(\left[\frac{(a+b)(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\right]^2\leq \frac{1}{4}\)

Đặt $a+b=x; ab=y$ thì BĐT \(\Leftrightarrow \left(\frac{x(1-y)}{y^2+x^2-2y+1}\right)^2=\left(\frac{x(y-1)}{x^2+(y-1)^2}\right)^2\leq \frac{1}{4}\)

Điều này luôn đúng vì theo BĐT AM-GM:

\([x^2+(y-1)^2]^2=x^4+(y-1)^4+2x^2(y-1)^2\geq 2x^2(y-1)^2+2x^2(y-1)^2=[2x(y-1)]^2\)

\(\Rightarrow \frac{[x(y-1)]^2}{[x^2+(y-1)^2]^2}\leq \frac{[x(y-1)]^2}{[2x(y-1)]^2}=\frac{1}{4}\)

I. Đúng do BĐT Cosi \(a+\dfrac{9}{a}\ge2.\sqrt{a.\dfrac{9}{a}}=6\)

II. Sai do \(\dfrac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}=\sqrt{a^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+4}}\ge2+\dfrac{1}{a^2+4}>2\)

III. Đúng do BĐT Cosi \(\dfrac{\sqrt{ab}}{ab+1}\le\dfrac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2}\)

IV. Đúng do BĐT BSC \(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{a}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2=4\)

Bạn tham khảo:

Bài ni hay lắm mn Cho 3 số a , b , c thỏa mãn \(0\le a\le b\le c\le1\)       Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=\lef... - Hoc24

a: \(\Leftrightarrow-\dfrac{23}{5}\cdot\dfrac{50}{23}< =x< =\dfrac{-13}{5}:\dfrac{21}{15}\)

=>-10<=x<=-13/7

hay \(x\in\left\{-10;-9;...;-2\right\}\)

b: \(\Leftrightarrow-\dfrac{13}{3}\cdot\dfrac{1}{3}< =x< =-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{-11}{12}\)

=>-13/9<=x<=11/18

hay \(x\in\left\{-1;0\right\}\)