\(B=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2009}+3^{2010}\)

\(=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{2009}+3^{2010}\right)\)

\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{2009}\left(1+3\right)\)

\(=4.\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)\)

⇒ \(B\) ⋮ 4

b: \(C=5\left(1+5+5^2\right)+...+5^{2008}\left(1+5+5^2\right)=31\cdot\left(5+...+5^{2008}\right)⋮31\)

S = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + ... + 5²⁰¹²

= (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶ + 5⁷ + 5⁸) + ... + (5²⁰⁰⁹ + 5²⁰¹⁰ + 5²⁰¹¹ + 5²⁰¹²)

= 780 + 5⁴.(5 + 5² + 5³ + 5⁴) + ... + 5²⁰⁰⁸.(5 + 5² + 5³ + 5⁴)

= 780 + 5⁴.780 + ... + 5²⁰⁰⁸.780

= 65.12 + 5⁴.65.12 + ... + 5²⁰⁰⁸.65.12

= 65.12(1 + 5⁴ + ... + 5²⁰⁰⁸) ⋮ 65

Vậy S ⋮ 65

giúp minh với ạ

\(S=5\left(1+5+5^2+5^3\right)+5^5\left(1+5+5^2+5^3\right)+...+5^{2009}\left(1+5+5^2+5^3\right)\)

\(=156\left(5+5^5+...+5^{2009}\right)\)

\(=780\cdot\left(1+5^4+...+5^{2008}\right)⋮65\)

a. S = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶ +...+ 5²⁰¹². 

S = (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + 5⁵(5 + 5² + 5³ + 5⁴)+....+ 5²⁰⁰⁹(5 + 5² + 5³ + 5⁴)

Vì (5 + 5² + 5³ + 5⁴) = 780 chia hết cho 65

Vậy S chia hết cho 65

b. Gọi số cần tìm là a ta có: (a - 6) chia hết cho 11; (a - 1) chia hết cho 4; (a - 11) chia hết cho 19. 

(a - 6 + 33) chia hết cho 11; (a - 1 + 28) chia hết cho 4; (a - 11 + 38) chia hết cho 19.

(a + 27) chia hết cho 11; (a + 27) chia hết cho 4; (a + 27) chia hết cho 19. 

Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a + 27 nhỏ nhất

Suy ra: a + 27 = BCNN (4;11; 19).

Từ đó tìm được: a = 809

A = 10ⁿ + 18n - 1 = 10ⁿ - 1 - 9n + 27n

\(a,C=5+5^2+5^3+5^4+\cdot\cdot\cdot+5^{20}\)

\(=5\left(1+5+5^2+\cdot\cdot\cdot+5^{19}\right)\)

Ta thấy: \(5\left(1+5+5^2+\cdot\cdot\cdot+5^{19}\right)⋮5\)

nên \(C⋮5\)

\(b,C=5+5^2+5^3+5^4\cdot\cdot\cdot+5^{20}\)

\(=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+\cdot\cdot\cdot+\left(5^{19}+5^{20}\right)\)

\(=5\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+\cdot\cdot\cdot+5^{19}\left(1+5\right)\)

\(=5\cdot6+5^3\cdot6+\cdot\cdot\cdot+5^{19}\cdot6\)

\(=6\cdot\left(5+5^3+\cdot\cdot\cdot+5^{19}\right)\)

Ta thấy: \(6\cdot\left(5+5^3+\cdot\cdot\cdot+5^{19}\right)⋮6\)

nên \(C⋮6\)

\(c,C=5+5^2+5^3+5^4+\cdot\cdot\cdot+5^{20}\)

\(=\left(5+5^3\right)+\left(5^2+5^4\right)+\cdot\cdot\cdot+\left(5^{17}+5^{19}\right)+\left(5^{18}+5^{20}\right)\)

\(=5\left(1+5^2\right)+5^2\left(1+5^2\right)+\cdot\cdot\cdot+5^{17}\cdot\left(1+5^2\right)+5^{18}\left(1+5^2\right)\)

\(=5\cdot26+5^2\cdot26+\cdot\cdot\cdot+5^{17}\cdot26+5^{18}\cdot26\)

\(=26\cdot\left(5+5^2+\cdot\cdot\cdot+5^{17}+5^{18}\right)\)

Ta thấy: \(26\cdot\left(5+5^2+\cdot\cdot\cdot+5^{17}+5^{18}\right)⋮13\)

nên \(C⋮13\)

#\(Toru\)

a, ta có
C = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ... + 5^20
=> C = 5 . ( 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^19 )
=> C chia hết cho 5
b,
C = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ... + 5^20
=> C = 5 . ( 1 + 5 ) + 5^3 . ( 1 + 5 ) + ... + 5^19 . ( 1 + 5 )
=> C = 5 . 6 + 5^3 . 6 + ... + 5^19 . 6
=> C = 6 . ( 5 + 5^3 + ... + 5^19 )
=> C chia hết cho 6
c,
C = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^20
=> C = (5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 ) + ... + (5^17 + 5^18 + 5^19 + 5^20 )
=> C = 5 . ( 1 + 5 + 5^2 + 5^3 ) + ... + 5^17 . ( 1+ 5 + 5^2 +5^3)
=> C = 5 . 156 + 5^5 . 156 + ...+ 5^17 . 156
=> C = 5 . 12 . 13 + 5^5 . 12 . 13 + ... + 5^17 . 12 . 13
=> C = 13 . ( 5 . 12 + 5^5 . 12 + ... + 5^17 . 12 )
=> C chia hết cho 13

a. S = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ + 5⁶ +...+ 5²⁰¹². 

S = (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + 5⁵(5 + 5² + 5³ + 5⁴)+....+ 5²⁰⁰⁹(5 + 5² + 5³ + 5⁴)

Vì (5 + 5² + 5³ + 5⁴) = 780 chia hết cho 65

Vậy S chia hết cho 65

b. Gọi số cần tìm là a ta có: (a - 6) chia hết cho 11; (a - 1) chia hết cho 4; (a - 11) chia hết cho 19. 

(a - 6 + 33) chia hết cho 11; (a - 1 + 28) chia hết cho 4; (a - 11 + 38) chia hết cho 19.

(a + 27) chia hết cho 11; (a + 27) chia hết cho 4; (a + 27) chia hết cho 19. 

Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a + 27 nhỏ nhất

Suy ra: a + 27 = BCNN (4;11; 19).

Từ đó tìm được: a = 809

A = 10ⁿ + 18n - 1 = 10ⁿ - 1 - 9n + 27n

Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 do đó  nên 

       * Vậy A chia hết cho 27

\(A=\left(5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5\right)+...+\left(5^{2020}+5^{2021}\right)\\ =5^2.\left(1+5\right)+5^4.\left(1+5\right)+...+5^{2020}.\left(1+5\right)\\ =5^2.6+5^4.6+...+5^{2020}.6\\ =6.\left(5^2+5^4+...+5^{2020}\right)⋮6\)