Bài 1: Cho a, b, c ≥ 0
Chứng minh rằng: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{3}\)
Bài 2: Với a ≥0. Thì\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^2}\le1+a\)
Bài 3: Chứng minh rằng:\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge6\). Với x, y, z>0
1.Cho x, y \(\ge\)0 và x+ y=1
Chứng minh rằng : \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
2. Cho \(a,b,c\ge0\).Chứng minh rằng:
a, \(a^3+b^3>ab\left(a+b\right)\)
b, \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+ b^2c+c^2a\)
3. Cho x+ y+ z=3 và x, y, z>0. Chứng minh rằng:
a, \(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{3}{2}\)
b, \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{3}{2}\)
1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)
\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
2.
a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) Lần trước mk giải rồi nhá
3.
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)
\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
cho a,b,c >0 và a+b+c=3 .chứng minh \(\dfrac{1}{\sqrt{2a^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2b^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2c^2+1}}\ge\sqrt{3}\)
Bài 1: Cho a>0;b>0;c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
a)\(a^3+b^3+c^3\ge a+b+c\)
b) \(a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2\)
Bài 2: Với mọi a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge a +b+c\)
Bài 3: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z\le1\)
Chứng minh rằng: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
câu 1: Cho a,b,c là các số không âm thỏa a+b+c=3.chứng minh
\(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge\dfrac{3}{2}\)
câu 2: cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . chứng minh
\(\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\sqrt{3}\)
câu 3:tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình
xyz+xy+yz+xz+x+y+z=2015 thỏa \(x\ge y\ge z\ge8\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a-\dfrac{a^2}{a+b^2}=\dfrac{ab^2}{a+b^2}\le\dfrac{ab^2}{2b\sqrt{a}}=\dfrac{b\sqrt{a}}{2}\)
Tương tự cho các BĐT còn lại cũng có:
\(b-\dfrac{b^2}{b+c^2}\le\dfrac{c\sqrt{b}}{2};c-\dfrac{c^2}{c+a^2}\le\dfrac{a\sqrt{c}}{2}\)
Sau đó cộng theo vế các BĐT trên
\(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge3-\dfrac{1}{2}\left(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\right)\)
\(\ge3-\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\ge3-\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right)\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}}\)
\(\ge\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\dfrac{3a^2+2b^2+2c^2-a^2}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự cho các BĐT còn lại ta có:
\(\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}b^2}{a^2+b^2+c^2};\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
2 bài đầu bt làm r` để tẹo nữa làm ha~ :D
Bài 1 :
a) Cho 3 số hữu tỉ a,b,c thoả mãn : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\). Chứng minh rằng : \(A\text{=}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) là số hữu tỉ.
b) Cho 3 số x,y,z đôi một khác nhau . Chứng minh rằng : \(B\text{=}\sqrt{\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y-z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z-x\right)^2}}\) là một số hữu tỉ.
a) Từ giả thiết : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)
\(\Rightarrow2ab\text{=}2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2ab-2bc-2ca\text{=}0\)
Ta xét : \(\left(a+b-c\right)^2\text{=}a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)
\(\text{=}a^2+b^2+c^2\)
Do đó : \(A\text{=}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\text{=}\sqrt{\left(a+b-c\right)^2}\)
\(\Rightarrow A\text{=}a+b-c\)
Vì a;b;c là các số hữu tỉ suy ra : đpcm
b) Đặt : \(a\text{=}\dfrac{1}{x-y};b\text{=}\dfrac{1}{y-x};c\text{=}\dfrac{1}{z-x}\)
Do đó : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)
Ta có : \(B\text{=}\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\)
Từ đây ta thấy giống phần a nên :
\(B\text{=}a+b-c\)
\(B\text{=}\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{z-x}\)
Suy ra : đpcm.
Mình bổ sung đề phần b cần phải có điều kiện của x;y;z nha bạn.
Cho a,b,c>0 thỏa mãn: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1980\)
Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\dfrac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\dfrac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge1980\sqrt{3}\)
\(\dfrac{\sqrt{b^2+a^2+a^2}}{ab}\ge\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{3}\left(b+a+a\right)^2}}{ab}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\) ; \(\dfrac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}\right)=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=1980\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{3}{1980}\)
1. Giải phương trình $\sqrt2.\sqrt{2x^2 + x + 1} - \sqrt{4x-1} + 2x^2+3x-3 = 0$.
2. Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca = 3.$ Chứng minh
$\dfrac{a^3}{b+2c} + \dfrac{b^3}{c+2a} + \dfrac{c^3}{a+2b} \ge 1.$
b, \(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\ge1\)
\(\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac+2ac+2ab+2bc}\)( Bunhia dạng phân thức )
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3+2\left(ab+ac+bc\right)}=\frac{9}{3+6}=1\)( đpcm )
1.
Điều kiện .
Phương trình tương đương với \\
Với ta có:
.
Suy ra
1.
√2 × √(2x2+x+1) + √(4x-1) + 3x-3=0
⇌[√(4x2+2x+2)-2] - [√(4x-1) -1] + (2x2+3x-2)=0
⇌(4x2+2x-2)/[√(4x2+2x+2)+2] - (4x-2)/[√(4x-1)+1] + (2x-1)(x+2) =0
⇔(2x-1) × [(2x+2)/√(4x2+2x+2+2) - 2/(√4x-1)+1+x+2]=0
Với x≥1/4 thì (2x+2)/(√4x2+2x+2+2)≥0 hoặc x+2>2 hoặc (√4x-1)+1≥1 ⇌ 2/[(√4x-1)+1]≤2
⇒(2x+2)/[(√4x2+2x+2)+2] - 2/[(x-1)+1]+x+2>0-2+2=0
⇌ 2x-1=0⇒x=1/2
Vậy x=1/2
2.
Áp dụng bất đẳng thức ta có :
Vế trái = a4/(ab +2ac) + b4/(bc+2ab) + c4/(ac+2bc)≥[(a2 + b2 +c2)2]/[3(ab+bc+ca) =[(a2+b2+c2)2]/9
Ấp dụng bất đẳng thức ta có :
ab+bc+ca≤a2+b2+c2
Vế trái ≥ [(a2+b2+c2)]/9≥32/9 =1
⇒ Vế trái ≥1 (đpcm)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Cho a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3
a. Chứng minh rằng \(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\ge\sqrt{a^2+b^2+c^2+15}\)
b. Chứng minh rằng \(\sum\dfrac{a+1}{a^2+2a+3}\le1\)
a.
Bình phương 2 vế, BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}+\sqrt{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}+\sqrt{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge6\)
Ta có:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(1+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cộng lại:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}+\sqrt{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}+\sqrt{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge2\left(a+b+c\right)=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b.
\(\sum\dfrac{a+1}{a^2+2a+3}=\sum\dfrac{a+1}{a^2+1+2a+2}\le\sum\dfrac{a+1}{4a+2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\sum\dfrac{a+1}{4a+2}\le1\Leftrightarrow\sum\dfrac{4a+4}{4a+2}\le4\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{2a+1}\ge1\)
Đúng đo: \(\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{1}{2c+1}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)+3}=1\)
1/ Cho a,b>0 , thỏa mãn ab = 1. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b+2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+b+ab}}\ge\sqrt{3}\)
2/ Cho a>0. Chứng minh rằng:
a+\(\dfrac{1}{a}\ge\sqrt{\dfrac{1}{a^2+1}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2+1}}\)
3/ Cho a, b>0. Chứng minh rằng:
2(a+b)\(\le1+\sqrt{1+4\left(a^3+b^3\right)}\)