CM CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SAU
A) \(X+\dfrac{1}{X}\ge2\) (X>0)
B) \(\dfrac{A}{B}+\dfrac{B}{A}\ge2\) (AB>0)
Những câu hỏi liên quan
CM CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SAU
A) \(X+\dfrac{1}{X}\ge2\) (X>0)
B) \(\dfrac{A}{B}+\dfrac{B}{A}\ge2\) (AB>0)
Chứng minh các bất đẳng thức sau: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\left(\forall x,y>0\right)\)
Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã được chứng minh
Đúng 5
Bình luận (0)
Cách khác so với anh Nguyễn Việt Lâm
Ta có: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}}=2\) (đpcm)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho a , b , c > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge2\)
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) \(e^x+\cos x\ge2+x-\dfrac{x^2}{2};\forall x\in\mathbb{R}\)
b) \(e^x-e^{-x}\ge2\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right);\forall x\ge0\)
c) \(8\sin^2\dfrac{x}{2}+\sin2x>2x;\forall x\in\) (\(0;\pi\)]
Chứng minh các bất đẳng thức sau: \(\dfrac{x^2+1}{x}\ge2\)
BĐT này sai nha bạn.
Nó chỉ đúng khi \(x>0\)
Đúng 1
Bình luận (1)
Với \(x>0\) thì bất đẳng thức tương đương với \(x^2+1\ge2x\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow\) Điều cần chứng minh là đúng
Đúng 2
Bình luận (0)
Chứng minh với a, b lớn hơn 0 thì: \(\dfrac{a+b}{2}=\sqrt{ab}\). Áp dụng tìm GTNN của B=\(\dfrac{x+1}{x}\) với:
TH1: x>0
TH2: \(0< x\le\dfrac{1}{4}\)
TH3: \(x\ge2\)
Ta có: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Đúng 1
Bình luận (0)
Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge2\) với a,b,c > 0
Xem chi tiết
\(\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{a+b+2c}\)
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{a+b+2c}-2\)(*)
Lại có: theo AM-GM:\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2c}.1}\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{a+b+2c}{2c}=\dfrac{a+b+2c}{4c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge\dfrac{4c}{a+b+2c}\)(**)
từ (*) và (**),ta có:
\(VT\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)+4c}{a+b+2c}-2=\dfrac{4\left(a+b+2c\right)}{a+b+2c}-2=2\)(ĐpcM)
Dấu = xảy ra khi a=b=c>0
Đúng 0
Bình luận (1)
Chứng minh với a, b lớn hơn 0 thì: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\). Áp dụng tìm GTNN của \(B=\dfrac{x+1}{x}\) với:
TH1: x>0
TH2: \(0< x\le\dfrac{1}{4}\)
TH3: \(x\ge2\)
*Chứng minh bất đẳng thức
Ta có: \(\forall a,b\ge0\) thì \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\) \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b>0\)(đpcm)
Đúng 1
Bình luận (0)
Chứng minh các bất đẳng thức sau: \(\dfrac{x^2+1}{x}\ge2\left(x\ne0\right)\)
\(\dfrac{x^2+1}{x}=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\)
Theo bất đẳng thức Cô - si, ta có:
\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}=2\sqrt{1}=2\)
Vậy \(\dfrac{x^2+1}{x}\ge2\)
Đúng 4
Bình luận (0)
1 cách chứng minh khác (chứng minh tương đương)
\(\dfrac{x^2+1}{x}\ge2\\ \Leftrightarrow x^2+1\ge2x\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)
Vậy BĐT ban đầu được chứng minh
Đúng 3
Bình luận (0)