Question

Chứng minh các bất đẳng thức sau: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\left(\forall x,y>0\right)\)

Answer 1

Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã được chứng minh

Answer 2

Cách khác so với anh Nguyễn Việt Lâm

Ta có: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{y}{x}}=2\)  (đpcm)