Question

Cho các số x,y thỏa mãn: x + y \(\ne\) 0

Chứng minh:

x² + y² + \(\left(\dfrac{1+xy}{x+y}\right)^2\)\(\ge2\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} (x+y)^2=a\neq 0\\ xy=b\end{matrix}\right.\)

Dùng cách biến đổi tương đương.

Ta có: \(A=x^2+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=(x+y)^2-2xy+\frac{(xy+1)^2}{(x+y)^2}\)

\(A=a-2b+\frac{(b+1)^2}{a}\)

\(A\geq 2\Leftrightarrow a-2b+\frac{(b+1)^2}{a}\geq 2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+(b+1)^2\geq 2a\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1-2ab+2b-2a\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (-a+b+1)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(-a+b+1=0\Leftrightarrow x^2+y^2+xy=1\)