Biết rằng dãy số \(\left(u_n\right)\) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(v_n=\left|u_n\right|\) cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không ?
Cho biết dãy số \(\left(u_n\right)\) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số \(\left(v_n\right)\) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số \(\left(u_n+v_n\right)\) có thể có giới hạn không ?
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 + \frac{1}{n};{v_n} = 5 - \frac{2}{{{n^2}}}.\) Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\)
b) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right),\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}.\)
a) \(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {3 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 3 + \lim \frac{1}{n} = 3 + 0 = 3\\\lim {v_n} = \lim \left( {5 - \frac{2}{{{n^2}}}} \right) = \lim 5 - \lim \frac{2}{{{n^2}}} = 5 - 0 = 5\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n} = 3 + 5 = 8\\\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = 3 - 5 = - 2\\\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = 3.5 = 15\\\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\lim {u_n}}}{{\lim {v_n}}} = \frac{3}{5}\end{array}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{n}\).
a) Cho dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_n} - 2\). Tìm giới hạn \(\lim {v_n}\).
b) Biểu diễn các điểm \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4}\) trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm \({u_n}\) khi \(n\) trở nên rất lớn?
a) \({v_n} = {u_n} - 2 = \frac{{2n + 1}}{n} - 2 = \frac{{2n + 1 - 2n}}{n} = \frac{1}{n}\).
Áp dụng giới hạn cơ bản với \(k = 1\), ta có: \(\lim {v_n} = \lim \frac{1}{n} = 0\).
b) \({u_1} = \frac{{2.1 + 1}}{1} = 3,{u_2} = \frac{{2.2 + 1}}{2} = \frac{5}{2},{u_3} = \frac{{2.3 + 1}}{3} = \frac{7}{3},{u_4} = \frac{{2.4 + 1}}{4} = \frac{9}{4}\)
Biểu diễn trên trục số:
Nhận xét: Điểm \({u_n}\) càng dần đến điểm 2 khi \(n\) trở nên rất lớn.
Cho hai dãy số \(\left(u_n\right)\) và \(\left(v_n\right)\). Biết \(\left|u_n-2\right|\le v_n\) với mọi n và \(\lim\limits v_n=0\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \(\left(u_n\right)\) ?
+ Với mọi n ∈ N*, ta có:
|un – 2| ≤ vn ⇔ -vn ≤ un – 2 ≤ vn
+ Mà lim (-vn) = lim (vn) = 0 nên
lim (un – 2) = 0 ⇔ lim un – lim 2 = 0 ⇔ lim un = 2
Cho hàm số :
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+1;x\ge0\\2x;x< 0\end{matrix}\right.\)
và các dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(\left(u_n\right)=\dfrac{1}{n},\left(v_n\right)\) với \(v_n=-\dfrac{1}{n}\)
Tính \(\lim\limits u_n,\lim\limits v_n,\lim\limits f\left(u_n\right)\) và \(\lim\limits f\left(v_n\right)\) ?
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x -> 0 ?
\(limu_n=lim\dfrac{1}{n}=0\); \(limv_n=lim\left(-\dfrac{1}{n}\right)=0\).
\(limf\left(u_n\right)=lim\left(\sqrt{\dfrac{1}{n}}+1\right)=1\).
\(limf\left(v_n\right)=lim\left(2.\dfrac{-1}{n}\right)=lim\dfrac{-2}{n}=0\).
Hai dãy số \(\left(u_n\right)\) và \(\left(v_n\right)\) đều có giới hạn 0 khi n tiến ra dương vô cùng nhưng \(limf\left(u_n\right)\ne limf\left(v_n\right)\) nên f không có giới hạn tại \(x=0\).
a) Cho hai dãy số \(\left(u_n\right)\) và \(\left(v_n\right)\). Biết \(\lim\limits u_n=-\infty\) và \(v_n\le u_n\) với mọi \(n\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy \(\left(v_n\right)\) khi \(n\rightarrow+\infty\) ?
b) Tìm \(\lim\limits v_n\) với \(v_n=-n!\)
Biết rằng dãy số ( u n ) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số ( v n ) với v n = | u n | cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không?
Vì ( u n ) có giới hạn là 0 nên | u n | có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, | v n | = | | u n | | = | u n | . Do đó, | v n | cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy ( v n ) có giới hạn là 0.
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1;u_2=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{u_{n-1}}\end{matrix}\right.\) với \(n\ge2\)
a, Chứng minh dãy số \(\left(v_n\right):v_n=\dfrac{u_n}{u_{n-1}}\) là dãy số không đổi
b,Tìm công thức tổng quát của dãy số \(\left(u_n\right)\)
Cho hai dãy số \(\left(u_n\right)\) và \(\left(v_n\right)\). Biết \(\lim\limits u_n=3;\lim\limits v_n=+\infty\). Tính các giới hạn :
a) \(\lim\limits\dfrac{3u_n-1}{u_n+1}\)
b) \(\lim\limits\dfrac{v_n+2}{v^2_n-1}\)