Giả sử M có tọa độ (x;y), ta có:

MA²= (x - 1)² + (y + 2)² ;

MA²= (x + 3)² + (y - 1)²

MC²= (x - 4)² + (y + 2)²

Vì MA² + MB² = MC² nên x² + y² + 12x - 10y - 5 = 0.

Vậy { M } là đường tròn tâm I (-6;5), bán kính R = \(\sqrt{66}\)

a) Thay \(x =  - 3\) vào hàm số ta được:

\(y = {\left( { - 3} \right)^2} + 2.\left( { - 3} \right) - 3 = 0\). Điền 0 vào ô tương ứng.

Thay \(x =  - 2\) vào hàm số ta được:

\(y = {\left( { - 2} \right)^2} + 2.\left( { - 2} \right) - 3 =  - 3\). Điền \( - 3\) vào ô tương ứng.

Thay \(x =  - 1\) vào hàm số ta được:

\(y = {\left( { - 1} \right)^2} + 2.\left( { - 1} \right) - 3 =  - 4\). Điền \( - 4\) vào ô tương ứng.

Thay \(x = 0\) vào hàm số ta được:

\(y =  - 3\). Điền \( - 3\) vào ô tương ứng.

Thay \(x = 1\) vào hàm số ta được:

\(y = {\left( 1 \right)^2} + 2.\left( 1 \right) - 3 = 0\). Điền 0 vào ô tương ứng.

Vậy ta có:

b) Các điểm có trong hình 11.

c) Đường cong đi qua 5 điểm là parabol trong hình 11.

d) Từ đồ thị ta thấy điểm thấp nhất là điểm C(-4;-1)

Phương trình trục đối xứng là x=-1

Đồ thị có bề lõm lên trên.

Gọi \(A\left(x_A;y_A\right);B\left(x_B;y_B\right);C\left(x_C;y_C\right)\).
\(\overrightarrow{MN}\left(1;2\right)\); \(\overrightarrow{BP}\left(-x_B;-4-y_B\right)\).
MN là đường trung bình của tam giác ABC nên: \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BN}\).
Vì vậy \(\left\{{}\begin{matrix}-x_B=1\\-4-y_B=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=-1\\y_B=-6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow B\left(-1;-6\right)\).
\(\overrightarrow{NP}\left(-2;-7\right)\); \(\overrightarrow{AM}\left(1-x_A;1-y_A\right)\).
NP là đường trung bình của tam giác ABC nên:
\(\overrightarrow{NP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}\).
Vì vậy \(\left\{{}\begin{matrix}1-x_A=-2\\1-y_A=-7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=3\\y_A=8\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A\left(3;8\right)\).
Do M là trung điểm của AB nên:
\(\dfrac{x_A+x_B}{2}=x_M\Rightarrow x_B=2x_M-x_A=2.1-3=-1\).
\(\dfrac{y_A+y_B}{2}=y_M\Rightarrow y_B=2y_M-y_A=2.1-8=-6\).
Vậy \(B\left(-1;-6\right)\).

a) Xác định các điểm –a, -b trên trục số:

b) Xác định các điểm |a|, |b|, |-a|, |-b| trên trục số:

c) So sánh các số a, b, -a, -b, |a|, |b|, |-a|, |-b| với 0:

a ở bên trái trục số => a là số nguyên âm nên a < 0.

Do đó: -a = |a| = |a| > 0.

b ở bên phải trục số => b là số nguyên dương nên b = |b| = |-b| > 0 và -b < 0.

Bài giải:

a) Xác định các điểm –a, -b trên trục số:

b) Xác định các điểm |a|, |b|, |-a|, |-b| trên trục số:

c) So sánh các số a, b, -a, -b, |a|, |b|, |-a|, |-b| với 0:

a ở bên trái trục số => a là số nguyên âm nên a < 0.

Do đó: -a = |a| = |a| > 0.

b ở bên phải trục số => b là số nguyên dương nên b = |b| = |-b| > 0 và -b < 0.

a)

b)  Ta có: Tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) lần lượt là: -5; 5

Ta có \(\overrightarrow {AB}  =  - \overrightarrow {CD} \)

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng

Tham khảo:

a) Ta có: \(\overrightarrow b  = \left( {4; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow a  = 3.\overrightarrow i  - 2.\overrightarrow j \;\; \Rightarrow \;\overrightarrow a \;\left( {3; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow 2\;\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {2.3 - 4\;;\;2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {2; - 3} \right)\)

Lại có: M (-3; 6), N(3; -3)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {3 - \left( { - 3} \right); - 3 - 6} \right) = \left( {6; - 9} \right)\)

Dễ thấy:\(\left( {6; - 9} \right) = 3.\left( {2; - 3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = 3\left( {2\;\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = \left( { - 3;6} \right)\) ( do M(-3; 6)) và \(\overrightarrow {ON}  = \left( {3; - 3} \right)\) (do N (3; -3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì \(\frac{{ - 3}}{3} \ne \frac{6}{{ - 3}}\)).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {PN} \).

Do \(\overrightarrow {OM}  = \left( { - 3;6} \right),\;\overrightarrow {PN}  = \left( {3 - x; - 3 - y} \right)\)  nên

\(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {PN}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = 3 - x\\6 =  - 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y =  - 9\end{array} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).

- Xét phương trình hoành độ của (P) với Ox : \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OA\left(\dfrac{4}{3};0\right)\\OB\left(-1;0\right)\end{matrix}\right.\)

- Từ đồ thị hàm số \(\Rightarrow S_{ABMN}=\dfrac{1}{2}\left(\left|AB\right|+\left|MN\right|\right).\left|m\right|=4\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{7}{3}+\left|MN\right|\right).\left(-m\right)=8\)

\(\Rightarrow\left|MN\right|=-\dfrac{8}{m}-\dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow MN^2=\dfrac{64}{m^2}+\dfrac{112}{3m}+\dfrac{49}{9}\)

- Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) và d :\(3x^2-x-m-4=0\)

Có : \(\Delta=b^2-4ac=1-4.3\left(-m-4\right)=12m+49\)

- Để P cắt d tại hai điểm phân biệt <=> \(m>-\dfrac{49}{12}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{49}{12}< m< 0\)

- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{1}{3}\\x_1x_2=-\dfrac{m+4}{3}\end{matrix}\right.\)

Thấy : \(\left|MN\right|=\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\)

\(\Rightarrow MN^2=x^2_1+2\left|x_1x_2\right|+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left|x_1x_2\right|\)

\(\Rightarrow\dfrac{2\left(m+4\right)}{3}+\dfrac{2}{3}\left|m+4\right|=\dfrac{64}{m^2}+\dfrac{112}{3m}+\dfrac{16}{3}\)

TH1 : \(m+4< 0\)

\(\Rightarrow16m^2+112m+192=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=-4\end{matrix}\right.\)

TH2 : \(m+4\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{4\left(m+4\right)m^2}{3m^2}=\dfrac{16m^2+112m+192}{3m^2}\)

\(\Rightarrow4m^3-112m-192=0\)

( Đoạn này giải máy nha cho nhanh nếu ko tách đc bl để mk tách cho )

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

Ta có : \(y'\left(x\right)=4mx^3+\left(6m+\frac{1}{12}\right)x\)

Ta có hệ số góc các tiếp tuyến \(\left(C_m\right)\) tại A và B lần lượt là :

\(y'\left(-1\right)=-10m-\frac{1}{12}\) và \(y'\left(2\right)=44m+\frac{1}{6}\)

Do đó các tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại A và B vuông góc với nhau khi và chỉ khi :

\(y'\left(-1\right).y'\left(2\right)=-1\Leftrightarrow\left(-10m-\frac{1}{12}\right)\left(44m+\frac{1}{6}\right)=-1\)

                            \(\Leftrightarrow440m^2+\frac{16}{3}m-\frac{71}{72}=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=\frac{1}{24}\\m=-\frac{71}{1320}\end{array}\right.\)

Vậy giá trị cần tìm là \(\begin{cases}m=\frac{1}{24}\\m=-\frac{71}{1320}\end{cases}\)

a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) vào phương trình đường tròn ta được: \({\left( {4 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2} \right)^2} = {3^2} + {4^2} = 25\). Vậy điểm M thỏa mãn phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 5\).

c) Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 4} \right)\). Vậy phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đường tròn \(\left( C \right)\) là:

\(3\left( {x - 4} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y - 20 = 0\)