a.

TXĐ: \(D=\left[-4;2\right]\)

\(0\le\sqrt{9-\left(x+1\right)^2}\le3\Rightarrow-1\le\sqrt{9-\left(x+1\right)^2}\le2\)

\(\Rightarrow f'\left(\sqrt{8-x^2-2x}-1\right)\le0\) ; \(\forall x\in D\)

\(g'\left(x\right)=-\dfrac{x+1}{\sqrt{8-x^2-2x}}.f'\left(\sqrt{8-x^2-2x}-1\right)\) luôn cùng dấu \(x+1\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[-1;2\right]\) và nghịch biến trên \(\left[-4;-1\right]\)

Từ BBT ta thấy \(g\left(x\right)_{max}=g\left(-4\right)=g\left(2\right)=f\left(-1\right)=?\)

\(g\left(x\right)_{min}=g\left(-1\right)=f\left(2\right)=?\)

(Do đề chỉ có thế này nên ko thể xác định cụ thể được min-max)

b.

\(g'\left(x\right)=\left(2x+1\right).f'\left(x^2+x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\f'\left(x^2+x\right)=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1), ta chỉ cần quan tâm 2 nghiệm bội lẻ:

\(f'\left(x^2+x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x=-1\left(vô-nghiệm\right)\\x^2+x=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Với \(\left[{}\begin{matrix}x\le-2\\x\ge1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2+x\ge2\) ; với \(-2\le x\le1\Rightarrow-1\le x^2+x\le2\) nên ta có bảng xét dấu:

Từ BBT ta có: \(x=-\dfrac{1}{2}\) là cực đại, \(x=-2;x=1\) là 2 cực tiểu

Hàm đồng biến trên ... bạn tự kết luận

Khi a>0 thì y>0

=> Hàm số đồng biến khi a>0

Khi a<0 thì y>0

=> Hàm só nghịch biến khi a<0

Lời giải:

Lấy $x_1\neq x_2\in\mathbb{R}$. Để hàm số đồng biến thì:

$\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow \frac{(3m-6)(x_1^2-x_2)^2}{x_1-x_2}=(3m-6)(x_1+x_2)>0$

Khi $x>0$ thì $x_1+x_2>0$. Để $y$ đồng biến khi $x>0$ thì $3m-6>0\Leftrightarrow m>2$

Khi $x<0$ thì $x_1+x_2< 0$. Để $y$ đồng biến khi $x< 0$ thì $3m-6< 0\Leftrightarrow m< 2$

Vì MN cố định nên cần chứng minh AM+NB nhỏ nhất hay AM và NB nhỏ nhất

AM và NB nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) AM và BN lần lượt là hình chiếu của A,B lên các đường thẳng tương ứng

\(\Leftrightarrow\) M và N là chân đường vuông góc từ A,B đến các đường thẳng tương ứng

Vậy \(AM+MN+NB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) M và N là chân đường vuông góc từ A,B đến các đường thẳng tương ứng

AM+MN+NB nhỏ nhất, MN cố định <=> AM+NB nhỏ nhất.
Gọi T_{\(\overrightarrow{NM}\)}(B) = B'
Có NB=MB' <=> AM + MB' nhỏ nhất <=> A,M,B' thẳng hàng
=> M là giao điểm AB' với d1
=> N là hình chiếu vuông góc của M xuống d2

C

c

c

a/ \(y'=2sinx.cosx+1=\left(sinx+cosx\right)^2\ge0\) ;\(\forall x\)

\(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên R

b/ Số cuối là 3x hay \(3x^3\) vậy nhỉ?

c/ \(y'=-2sinx.cosx+3x^2+6x+4\)

\(y'=\left(sinx-cosx\right)^2+3\left(x+1\right)^2\ge0\) ;\(\forall x\)

Hàm đồng biến trên R

uhm! đúng nha