Lời giải:
Nếu $a,b,c$ lập thành csc thì $b=a+m, c=a+2m$ với $m$ là công sai.

Khi đó:

$3(a^2+b^2+c^2)-6(a-b)^2=3[a^2+(a+m)^2+(a+2m)^2]-6(a-a-m)^2$

$=3(a^2+a^2+m^2+2am+a^2+4m^2+4am)-6m^2$

$=3(3a^2+5m^2+6am)=9a^2+15m^2+18am-6m^2$

$=9a^2+9m^2+18am$

$=9(a^2+m^2+2am)=9(a+m)^2=(3a+3m)^2$

$=(a+a+m+a+2m)^2=(a+b+c)^2$ (đpcm).

Để chứng minh rằng tích ab chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng một trong hai số a hoặc b chia hết cho 2 và một trong hai số a hoặc b chia hết cho 3.

Giả sử a chia hết cho 2, khi đó a có thể là 2, 4, 6 hoặc 8. Ta sẽ xét từng trường hợp:

Nếu a = 2, thì n = 10a + b = 20 + b. Vì n > 3, nên b > 0. Khi đó, tích ab = 2b chia hết cho 2.

Nếu a = 4, thì n = 10a + b = 40 + b. Vì n > 3, nên b > -37. Khi đó, tích ab = 4b chia hết cho 2.

Nếu a = 6, thì n = 10a + b = 60 + b. Vì n > 3, nên b > -57. Khi đó, tích ab = 6b chia hết cho 2.

Nếu a = 8, thì n = 10a + b = 80 + b. Vì n > 3, nên b > -77. Khi đó, tích ab = 8b chia hết cho 2.

Ta đã chứng minh được rằng nếu a chia hết cho 2, thì tích ab chia hết cho 2.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng một trong hai số a hoặc b chia hết cho 3. Ta có thể sử dụng phương pháp tương tự như trên để chứng minh điều này.

Vì tích ab chia hết cho cả 2 và 3, nên tích ab chia hết cho 6.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu n = 10a + b (a, b ∈ N, 0 < a < 10), thì tích ab chia hết cho 6.

Rảnh à?

tách hết ra rồi chuyển vế đổi dấu ra... => ĐPCM

Vì a=b=c nên ta có:

\(3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=3\left(b^2+b^2+b^2-b^2-b^2-b^2\right)=0\left(1\right)\)

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\)đpcm

@Bùi Hiền

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-bc=x\\b^2-ca=y\\c^2-ab=z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge0\)

\(\)Đẳng thức cần c/m trở thành: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x,y,z, ta có:

\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3.y^3.z^3}=3xyz\)

=> Đẳng thức (1) luôn đúng với mọi x

Dấu = xảy ra khi: x=y=z hay \(a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab\)

và \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\)\(\Rightarrow a=b=c\)

a) \(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

=\(a^3+b^3+\left(a^3-b^3\right)\)

=\(a^3+b^3+a^3-b^3\)

=\(2a^3\)

b) \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

=\(\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2-ab\right)\)

=\(\left(a+b\right)\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)-ab\right]\)

=\(\left(a+b\right)\left[\left(a-b\right)^2-ab\right]\)

a. \(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3+b^3+a^3-b^3=2a^3\)

b. \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2+ab\right)=\left(a+b\right)\left[\left(a-b\right)^2+ab\right]\)

Có :

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

\(=a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ac\)

\(=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ab\)

\(3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(=3a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc-3ac\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ab=3a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc-3ac\)

Trừ cả 2 vế đi \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc;\)có :

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-bc-ca-ac=0\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ac\right)=0.2\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)+\left(a^2+c^2-2ab\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a-b=b-c=c-a=0\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

Vậy ...

Đặt \(\frac{\left(a+b-c\right)}{2}=x;\frac{\left(c+a-b\right)}{2}=y;\frac{\left(b+c-a\right)}{2}=z\) thì x, y, z > 0(do a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác)

Và \(a=x+y;b=x+z;c=y+z\)

Thay vào, ta cần chứng minh: \(2\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+6xyz\right]>0\) (luôn đúng do x, y, z > 0)

Done!