Đáp án A

⇔ 2 a x 1 + x 2 + 12 a a 2 + a 2 2 a x 1 + x 2 + 12 a = 2 ⇔ 4 a + 12 a + a 4 a + 12 = 2 → t = 4 a + 12 a t = 4 a + 12 a = ± 1 ⇔ a = − 4 a = − 12 5

Kết hợp ĐK suy ra a = -4

Đáp án A

Ta có y ' = x 2 − 2 a x − 3 a . Để hàm số đặt cực trị tại x 1 , x 2

thì Δ ' = a 2 + 3 a > 0 ⇔ a > 0 a < − 3

Khi đó

x 1 + x 2 = 2 a x 1 x 2 = − 3 a ⇒ x 1 2 + 2 a x 2 + 9 a = x 1 2 + x 1 + x 2 x 2 − 3 x 1 x 2 = x 1 + x 2 2 − 4 x 1 x 2 = 4 a 2 + 12 a

Tương tự ta cũng có x 2 2 + 2 a x 1 + 9 a = 4 a 2 + 12 a . Từ đó suy ra

x 1 2 + 2 a x 2 + 9 a a 2 + a 2 x 2 2 + 2 a x 1 + 9 a = 4 a + 12 a + a 4 a + 12 = 2 ⇔ a 4 a + 12 = 1 ⇔ a = − 4

Đáp án C.

Ta có y ' = x 2 − 2 a x − 3 a . Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2  thì y ' = 0 phương trình  phải có hai nghiệm phân biệt .

x 1 , x 2 ⇔ Δ ' = a 2 + 3 a = a a + 3 > 0 ⇔ a > 0 a < − 3

Có   y ' x 1 = 0 y ' x 2 = 0 ⇔ x 1 2 − 2 a x 1 − 3 a = 0 x 2 2 − 2 a x 2 − 3 a = 0 ⇔ x 1 2 = 2 a x 1 + 3 a x 2 2 = 2 a x 2 + 3 a

Theo định lý Vi-ét ta có   x 1 + x 2 = 2 a x 1 x 2 = − 3 a

Từ

x 1 2 + 2 a x 2 + 9 a a 2 + a 2 x 2 2 + 2 a x 1 + 9 a = 2 ⇔ 2 a x 1 + x 2 + 12 a a 2 + a 2 2 a x 1 + x 2 + 12 a = 2

  ⇔ 4 a 2 + 12 a a 2 + a 2 4 a 2 + 12 a = 2 ⇔ 4 a + 12 a + a 4 a + 12 = 2

.

Với   a ∈ − ∞ ; − 3 ∪ 0 ; + ∞ thì 4 a + 12 a > 0  và  a 4 a + 12 > 0   . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương  4 a + 12 a    và a 4 a + 12  ta có:

4 a + 12 a + a 4 a + 12 ≥ 2 4 a + 12 a . a 4 a + 12 = 2

Dấu “=” xảy ra

⇔ 4 a + 12 a = a 4 a + 12 ⇔ 4 a + 12 2 = a 2 ⇔ 15 a 2 + 96 a + 144 = 0

⇔ a = − 12 5 L a = − 4 t m

Vậy a 0 = − 4  là giá trị cần tìm, suy ra a 0 ∈ − 7 ; − 3 .

Đáp án là C.

Ta có y ' = x 2 − 2 a x − 3 a .

Hàm số có hai điểm cực trị   ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ x 2 − 2 a x − 3 a = 0  (*) có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ ' > 0 ⇔ a 2 + 3 a > 0 ⇔ a ∈ − ∞ ; − 3 ∪ 0 ; + ∞  (1).

Khi đó hàm số đạt cực trị tại hai điểm  x 1   ,   x 2 là hai nghiệm của phương trình (*).

Ta có x 1 2 − 2 a x 1 − 3 a = 0 ⇒ x 1 2 = 2 a x 1 + 3 a ; tương tự  x 2 2 = 2 a x 2 + 3 a   .

x 1 2 + 2 a x 2 + 9 a a 2 + a 2 x 2 2 + 2 a x 1 + 9 a = 2

⇔ 2 a x 1 + 3 a + 2 a x 2 + 9 a a 2 + a 2 2 a x 2 + 3 a + 2 a x 1 + 9 a = 2

⇔ 2 a x 1 + x 2 + 12 a a 2 + a 2 2 a x 1 + x 2 + 12 a = 2 ⇔ 4 a 2 + 12 a a 2 + a 2 4 a 2 + 12 a = 2

⇔ 4 a + 12 a + a 4 a + 12 = 2

⇔ 4 a + 12 2 + a 2 = 2 a 4 a + 12 ⇔ 9 a 2 + 72 a + 144 = 0

⇔ a = − 4 (thỏa mãn điều kiện (1)).

Vậy a 0 = − 4

\(\Delta=a^2-4\left(b+2\right)>0\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-a\\x_1x_2=b+2\end{matrix}\right.\) (1)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=4\\\left(x_1-x_2\right)^3+3x_1x_2\left(x_1-x_2\right)=28\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=4\\64+12x_1x_2=28\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=4\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=3\\x_2=-1\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1) để tìm a; b

Hàm số có cực đại và cực tiểu

\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=x^2-2mx+m=0\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-m>0\Leftrightarrow m\in D=\left(-\infty,0\right)\cup\left(1,+\infty\right)\) (*)

Với điều kiện này thì \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực trị tại  \(x_1,x_2\). Theo định lí Viet ta có : \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=m\) Suy ra :

\(\left|x_1-x_2\right|\ge8\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|^2\ge64\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge64\Leftrightarrow4m^2-4m\ge64\)

\(\Leftrightarrow m^2-m-16\ge0\Leftrightarrow m\in\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)\) (thỏa mãn (*))

Vậy để \(\left|x_1-x_2\right|\ge8\) thì \(m\in\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)\)