Cho hàm số y = 1 3 x 3 − a x 2 − 3 a x + 4 với a là tham số. Biết a 0 là giá trị của tham số a để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 2 + 2 a 2 + 9 a a 2 + a 2 x 2 2 + 2 a x 1 + 9 a = 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a 0 ∈ − 10 ; − 7
B. a 0 ∈ 7 ; 10
C. a 0 ∈ − 7 ; − 3
D. a 0 ∈ 1 ; 7
Đáp án C.
Ta có y ' = x 2 − 2 a x − 3 a . Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 thì y ' = 0 phương trình phải có hai nghiệm phân biệt .
x 1 , x 2 ⇔ Δ ' = a 2 + 3 a = a a + 3 > 0 ⇔ a > 0 a < − 3
Có y ' x 1 = 0 y ' x 2 = 0 ⇔ x 1 2 − 2 a x 1 − 3 a = 0 x 2 2 − 2 a x 2 − 3 a = 0 ⇔ x 1 2 = 2 a x 1 + 3 a x 2 2 = 2 a x 2 + 3 a
Theo định lý Vi-ét ta có x 1 + x 2 = 2 a x 1 x 2 = − 3 a
Từ
x 1 2 + 2 a x 2 + 9 a a 2 + a 2 x 2 2 + 2 a x 1 + 9 a = 2 ⇔ 2 a x 1 + x 2 + 12 a a 2 + a 2 2 a x 1 + x 2 + 12 a = 2
⇔ 4 a 2 + 12 a a 2 + a 2 4 a 2 + 12 a = 2 ⇔ 4 a + 12 a + a 4 a + 12 = 2
.
Với a ∈ − ∞ ; − 3 ∪ 0 ; + ∞ thì 4 a + 12 a > 0 và a 4 a + 12 > 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 4 a + 12 a và a 4 a + 12 ta có:
4 a + 12 a + a 4 a + 12 ≥ 2 4 a + 12 a . a 4 a + 12 = 2
Dấu “=” xảy ra
⇔ 4 a + 12 a = a 4 a + 12 ⇔ 4 a + 12 2 = a 2 ⇔ 15 a 2 + 96 a + 144 = 0
⇔ a = − 12 5 L a = − 4 t m
Vậy a 0 = − 4 là giá trị cần tìm, suy ra a 0 ∈ − 7 ; − 3 .
