a: Xét ΔBAC có 

M là trung điểm của BC

D là trung điểm của AB

Do đó: MD là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MD//AC

hay ME\(\perp\)AB

mà ME cắt AB tại trung điểm của ME

nên E và M đối xứng nhau qua AB

b: Xét tứ giác AEMC có 

AC//ME

AC=ME

Do đó: AEMC là hình bình hành

\(a,\) Vì AM là trung tuyến tam giác cân tại A nên AM cũng là đường cao

Vì D là trung điểm AC và MN nên AMCN là hình bình hành

Mà \(AM\bot BC\Rightarrow AM\bot MC\)

Do đó: AMCN là hình chữ nhật

\(b,\) Vì AMCN là hcn nên \(AM=AC;AN=MC\)

Mà \(AB=AC;MB=MC\Rightarrow AM=AB;AN=MB\)

Vậy ABMN là hình bình hành

\(c,\) Ta có \(BM=MC=\dfrac{1}{2}BC=3(cm)\)

Áp dụng PTG vào tam giác ABM vuông M

\(AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=4\left(cm\right)\)

Do đó \(S_{AMCN}=AM\cdot MC=4\cdot3=12\left(cm^2\right)\)

a) Xét tam giác ABC cân tại A: AM là trung tuyến (gt).

\(\Rightarrow\) AM là đường cao (Tính chất các đường trong tam giác cân).

\(\Rightarrow\) AM \(\perp\) BC. \(\Rightarrow\) \(\widehat{AMC}\) = 90^o.

Xét tứ giác AMCN có:

+ D là trung điểm của MN (N đối xứng với M qua D).

+ D là trung điểm của AC (gt).

\(\Rightarrow\) Tứ giác AMCN là hình bình hành (dhnb).

Lại có:  \(\widehat{AMC}\) = 90^o (cmt).

 \(\Rightarrow\) Tứ giác AMCN là hình chữ nhật (dhnb).

b) Tứ giác AMCN là hình chữ nhật (cmt).

\(\Rightarrow\) AN // MC (Tính chất hình chữ nhật).

\(\Rightarrow\) AN // BM.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC (gt). \(\Rightarrow\) M là trung điểm của BC.

\(\Rightarrow\) BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

Mà AN = MC (Tứ giác AMCN là hình chữ nhật).

\(\Rightarrow\) BM = MC = AN.

Xét tứ giác ABMN có:

+ BM = AN (cmt).

+ BM // AN (cmt).

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABMN là hình bình hành (dhnb).

c) Ta có: BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC = \(\dfrac{1}{2}\).6 = 3 (cm).

Xét tam giác AMB vuông tại M có:

AB² = AM² + BM² (Định lý Pytago).

Thay số: 5² = AM² + 3².

\(\Leftrightarrow\) 25 = AM² + 9. \(\Leftrightarrow\) AM² = 16. \(\Leftrightarrow\) AM = 4 (cm).

Diện tích hình chữ nhật AMCN là: 3 . 4 = 12 (cm²).

Lời giải:
a. Vì $N$ đối xứng với $M$ qua $D$ nên $D$ là trung điểm $MN$

Tứ giác $AMCN$ có 2 đường chéo $AC, MN$ cắt nhau tại trung điểm $D$ của mỗi đường nên $AMCN$ là hình bình hành.

Mặt khác:

$ABC$ là tam giác cân nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AM\perp BC$ hay $\widehat{AMC}=90^0$
Hình bình hành $AMCN$ có 1 góc vuông nên là hcn.

b. Vì $AMCN$ là hcn nên $AN=MC$ và $AN\parallel MC$

Mà $BM=MC$ và $B,M,C$ thẳng hàng

$\Rightarrow BM=AN$ và $BM\parallel AN$
$\Rightarrow ANMB$ là hbh

c.

Diện tích $AMCN$: $S=AM.MC$. Trong đó:
$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{5^2-(6:2)^2}=4$ (cm) theo định lý Pitago)

$MC=BC:2=3$ (cm)

$\Rightarrow S=3.4=12$ (cm²)

a,  Ta có tam giác ABC cân tại A  có

AM là đg trung tuyến đồng thời là đg cao

Xét tứ giác ANCM có

D là trung điểm của AC ( gt)

D là trung điểm của MN ( N đối xứng M qua D-gt)

=> ANCM là hình bình hành

mà có góc AMC = 90 độ ( AM là đg cao-cmt)

=> ANCM là hình chữ nhật

b, Ta có AMCN là hình chữ nhật (cmt)

=> MN = AC ; NA = MC

Ta có 

AB = AC ( tam giác ABC là tam giác cân -gt)

mà MN = AC (cmt)

=> AB = MN

Lại có MC = MB ( AM là trung tuyến -gt)

mà MC = AN ( cmt)

=> MB = AN

Xét tứ giác ANBM có

MN = AB (cmt)

NA = MB ( cmt)

=> NABM là hình bình hành (dhnb)

a) Do E và M đối xứng qua D

⇒ D là trung điểm EM

Do D là trung điểm AB

M là trung điểm BC (AM là đường trung tuyến)

⇒DM là đường trung bình của ∆ABC

⇒DM // AC

Mà AC vuông góc AB

⇒DM vuông góc AB

Hay EM vuông góc AB tại D

⇒AB là đường trung trực của EM

Hay E và M đối xứng qua AB

b) Do D là trung điểm AB (gt)

D là trung điểm EM (cmt)

⇒AEBM là hình bình hành

Mà AB vuông góc EM (cmt)

⇒AEBM là hình thoi

c) Do BC = 4 (cm)

⇒BM = BC : 2

= 4 : 2

= 2 (cm)

Chu vi AEBM:

2 . 4 = 8 (cm)

a) Ta có MB = MC, DB = DA

⇒ MD là đường trung bình của ΔABC

⇒ MD // AC

Mà AC ⊥ AB

⇒ MD ⊥ AB.

Mà D là trung điểm ME

⇒ AB là đường trung trực của ME

⇒ E đối xứng với M qua AB.

b) + MD là đường trung bình của ΔABC

⇒ AC = 2MD.

E đối xứng với M qua D

⇒ D là trung điểm EM

⇒ EM = 2.MD

⇒ AC = EM.

Lại có AC // EM

⇒ Tứ giác AEMC là hình bình hành.

+ Tứ giác AEBM là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hình bình hành AEBM lại có AB ⊥ EM nên là hình thoi.

c) Ta có: BC = 4cm ⇒ BM = 2cm

Chu vi hình thoi AEBM bằng 4.BM = 4.2 = 8cm

d)- Cách 1:

Hình thoi AEBM là hình vuông ⇔ AB = EM ⇔ AB = AC

Vậy nếu ABC vuông có thêm điều kiện AB = AC (tức tam giác ABC vuông cân tại A) thì AEBM là hình vuông.

- Cách 2:

Hình thoi AEBM là hình vuông ⇔ AM ⊥ BM

⇔ ΔABC có trung tuyến AM là đường cao

⇔ ΔABC cân tại A.

Vậy nếu ΔABC vuông có thêm điều kiện cân tại A thì AEBM là hình vuông.

a: Xét tứ giác AEBM có

D la trung điểm chung của AB và EM

MA=MB

Do đó: AEBM là hình thoi

b: Xét tứ giác AEMC có

AE//MC

AE=MC

Do đó: AEMC là hình bình hành

=>AM cắt EC tại trung điểm của mỗi đường

=>E,I,C thẳng hàng

c: Để AEBM là hình vuông thì góc AMB=90 độ

=>AM vuông góc với BC

=>ΔABC cân tại A

QDSHYFT

a: Xét tứ giác AEBM co

D là trung điểm chung của AB và ME

MA=MB

DO đó: AEBM là hình thoi

b: Xét tứ giác AEMC có

AE//MC

AE=MC

Do đó: AEMC là hình bình hành

=>AM cắt EC tại trung điểm của mỗi đường

=>E,I,C thẳng hàng

c: Để AEBM là hình vuông thì góc AMB=90 độ

=>AM vuông góc với BC

=>ΔABC cân tại A

=>AB=AC