Bài 3: Diện tích tam giác

Nếu em chưa biết thì lên mạng đọc về định lí Menelaus nhé vì cách giải này cần sử dụng định lí đó!

Gọi giao điểm của AM và BN là I

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AMC với cát tuyến BIN ta có:

\(\dfrac{AN}{NC}.\dfrac{CB}{BM}.\dfrac{MI}{IA}=1 \Rightarrow \dfrac{MI}{IA}=\dfrac{NC}{NA}.\dfrac{BM}{BC}=1\)

Nên I là trung điểm AM, do tam giác ABM vuông tại B nên IA=IM=IB

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BNC với cát tuyến AIM ta có:

\(\dfrac{BM}{MC}.\dfrac{CA}{AN}.\dfrac{NI}{IB}=1 \Rightarrow \dfrac{NI}{IB}=\dfrac{AN}{CA}.\dfrac{MC}{BM}=\dfrac{1}{3}\)

Mà \(NI+IB=NB=34 \Rightarrow IB=34\times\dfrac{3}{1+3}=\dfrac{51}{2}\)

Hay AM=2IB=51

Áp dụng tính chất đường trung tuyến, đường trung bình tam giác

Lấy B' đối xưng B qua A{AB=AB'}

BN cắt CB' tại D

Khi đó B'M là trung tuyến {BM=MC (gt)}

AN/AC=1/3 => BD là trung tuyến {ba đường trung tuyến đông quy 1 điểm)

=> B'D =DC

=> AD là đường TB của tam giác B'BC đáy BC

=> AD =1/2BC

=> AD=BM

tương tự => MD =AB

=> ABMD là hình chữ nhật => AM=BD

BN/BD =2/3 => BD=51

=> AM =51 (dvcd)

Bài làm

Kẻ AH,CK\(\perp\)BE

Vì E là trung điểm của AC\(\Rightarrow\)AE=EC

Xét \(\Delta AHE\)và\(\Delta CKE\)có

góc AEH=CEK

AE=EC

góc AHE=CKE(=90)

Nên \(\Delta AHE\)=\(\Delta CKE\)

\(\Rightarrow AH=CK\)

Có S_BIC=S_{AIB(vì chung đáy BI, chiều cao hạ từ A và C xuống BI Bằng nhau)(2 chiều cao là AH=CK)}

Tương tự có S_BIC=S_AIC

DO đó S_BIC=S_AIB=S_{AIC=\(\dfrac{1}{3}\)}S_{ABC=\(\dfrac{1}{3}\)S}

_Vậy S_{BIC=\(\dfrac{1}{3}\)S}

Gọi độ dài 3 cạnh của 1 tam giác là a, b, c ( a, b, c >0)

do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác

=> a< b+c

=> 2a< a+b+c

<=> a<\(\dfrac{a+b+c}{2}\)

mà a+b+c là chu vi tam giác

=> độ dài 1 cạnh của 1 tam giác luôn bé hơn nửa chu vi

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Xét tứ giác ABCD có AB cắt CD tại F. E là giao điểm 2 đường chéo tứ giác. G,H thứ tự là trung điểm AC,BD
Ta cần cm $S_{FGH}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}$
\[{S_{FGH}} = {S_{FAD}} - {S_{FAG}} - {S_{FDH}} - {S_{AGD}} - {S_{DGH}}\]
\[ = {S_{FAD}} - \frac{1}{2}\left( {{S_{FAC}} + {S_{FBD}}} \right) - \frac{1}{2}{S_{ACD}} - \frac{1}{2}{S_{DGB}}\]
\[ = {S_{ACD}} + {S_{ABC}} + {S_{FBC}} - \frac{1}{2}\left( {{S_{ABC}} + {S_{FBC}} + {S_{DBC}} + {S_{FBC}}} \right) - \frac{1}{2}{S_{ACD}} - \frac{1}{2}\left( {{S_{ACD}} + {S_{ABC}} - {S_{ADG}} - {S_{ABG}} - {S_{BDC}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{2}\left( {{S_{ADG}} + {S_{ABG}}} \right) = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}\left( {{S_{ACD}} + {S_{ABC}}} \right) = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}\]