Xét x=0,x=1 thì thỏa mãn

Xét x khác 0,1

Dùng phản chứng là ra mà "<<

Với mọi số nguyên n ta có n <= n² . Do đó từ đề bài suy ra :

    x² <= y <= y² <= z <= z² <= x <= x².

Do đó x^2 = y = y^2 = z = z^2 = x = x^2.

Ta có : x^2 = x <=> x(x-1) = 0 <=> x = 0 và x = 1

Tương tự như thế

Vậy : ...

Chị ơi e ngu từ bé ko biết làm:V

Nhưng mà e nhớ là từng làm cái VT=1

Thì khai triển ra là ok ạ

Vì \(x,y,z\in\left[0;1\right]\) nên \(\left(x-1\right)\left(z-1\right)\ge0\Leftrightarrow xz+1\ge x+z\)

\(\Rightarrow xz+1+y\ge x+y+z\) \(\Rightarrow\dfrac{x}{1+y+zx}\le\dfrac{x}{x+y+z}\)

Tương tự ta có:

\(\dfrac{x}{1+y+xz}+\dfrac{y}{1+z+xy}+\dfrac{z}{1+x+yz}\le\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{z}{z+y+z}=1\)

hay \(\dfrac{3}{x+y+z}\le1\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)

Mà \(x;y;z\in\left[0;1\right]\Rightarrow x+y+z\le3\)

\(\Rightarrow x+y+z=3\) và \(x=y=z=1\)

Do \(x\in\left[-1;2\right]\Rightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(x-2\right)\le0\Leftrightarrow x^2\le x+2\)

Tương tự: \(y^2\le y+2\) ; \(z^2\le z+2\)

Cộng vế: \(x^2+y^2+z^2\le x+y+z+6=6\) (đpcm)

Mặt khác \(x;y;z\in\left[-1;2\right]\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow2xyz+2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow2xyz+2\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2xyz+2\ge x^2+y^2+z^2\) (đpcm)

Gợi ý :

Bài 3 :

\(5\left(x^2+2x+1\right)+2\left(y^2+2y+1\right)=13\)

\(\Leftrightarrow5\left(x+1\right)^2+2\left(y+1\right)^2=13\)

Bài 2 :

GTLN: Do a,b tự nhiên nên a,b > 0

Áp dụng Cô si ta có :

\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{n^2}{4}\)

\(c,P=\dfrac{x^2-x^2+8xy-16y^2}{x^2+4y^2}=\dfrac{8\left(\dfrac{x}{y}\right)-16}{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+4}\)

Đặt \(\dfrac{x}{y}=t\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{8t-16}{t^2+4}\Leftrightarrow Pt^2+4P=8t-16\\ \Leftrightarrow Pt^2-8t+4P+16=0\)

Với \(P=0\Leftrightarrow t=2\)

Với \(P\ne0\Leftrightarrow\Delta'=16-P\left(4P+16\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-P^2-4P+4\ge0\Leftrightarrow-2-2\sqrt{2}\le P\le-2+2\sqrt{2}\)

Vậy \(P_{max}=-2+2\sqrt{2}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{P}=\dfrac{4}{-2+2\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y}=2+2\sqrt{2}\)

Bài a hình như sai đề rồi bạn.

\(a,\text{Đặt }\left\{{}\begin{matrix}S=y+z\\P=yz\end{matrix}\right.\\ HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(y+z\right)^2-2yz+x^2=8\\x\left(y+z\right)+yz=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S^2-2P+x^2=8\\Sx+P=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S^2-2\left(4-Sx\right)+x^2=8\\P=4-Sx\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S^2+2Sx+x^2-16=0\left(1\right)\\P=4-Sx\end{matrix}\right.\\ \left(1\right)\Leftrightarrow\left(S+x-4\right)\left(S+x+4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S=-x+4\Rightarrow P=\left(x-2\right)^2\\S=-x-4\Rightarrow P=\left(x+2\right)^2\end{matrix}\right.\)

Mà y,z là nghiệm của hệ nên \(S^2-4P\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(4-x\right)^2\ge4\left(x-2\right)^2\\\left(-4-x\right)^2\ge4\left(x+2\right)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\dfrac{8}{3}\le x\le\dfrac{8}{3}\)