x ≤ 0 ⇒ |x| = -x

Suy ra: x + |x| = x – x = 0

Vậy mọi x ≤ 0 đều là nghiệm của phương trình x + |x| = 0

Ta có  \(x^2-2x+2=\left(x-1\right)^2+1>0\)

\(\Rightarrow\frac{-4}{x^2-2x+2}< 0\)

\(\Rightarrow\frac{-4}{x^2-2x+2}-5< 0\)(đúng vóiư mọi x)

b) Δ = m - 2 2  -4.(-m + 1) =  m 2  - 4m + 4 + 4m - 4 = m 2  ≥ 0 ∀ m

⇒ Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

\(x\left(x-a\right)+x\left(x-b\right)+x\left(x-c\right)=0\)

\(x^2-ax+x^2-bx+x^2-cx=0\)

\(3x^2-\left(a+b+c\right)x=0\)

\(\Delta=\left(a+b+c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

=> phương trình luôn có nghiệm với mọi a,b,c

Xét phương trình \(x^2-2\left(m+4\right)x+2m+6=0\)

\(\Delta'=\left(m+4\right)^2-\left(2m+6\right)=m^2+2m+16-2m-6=m^2+10>0\)

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\)

x² - (2m + 3)x + 4m + 2 = 0

Có: \(\Delta\) = [-(2m + 3)]² - 4.1.(4m + 2) = 4m² + 12m + 9 - 16m - 8 = 4m² - 4m + 1 = (2m - 1)²

Vì (2m - 1)² \(\ge\) 0 với mọi m hay \(\Delta\) \(\ge\) 0

\(\Rightarrow\) Pt luôn có nghiệm với mọi m

Chúc bn học tốt!

Ta có: \(\Delta=\left(2m+3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(4m+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=4m^2+12m+9-4\left(4m+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\Delta=4m^2+12m+9-16m-8\)

\(\Leftrightarrow\Delta=4m^2-4m+1\)

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(2m-1\right)^2\ge0\forall m\)

Vậy: Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

- Đặt f(x) = (x – a).(x - b) + (x - b).(x - c)+ (x – c).(x- a) thì f(x) liên tục trên R.

- Không giảm tính tổng quát, giả sử a ≤ b ≤ c

- Nếu a = b hoặc b = c thì f(b) = ( b - a).(b - c) = 0 suy ra phương trình có nghiệm x = b.

- Nếu a < b < c thì f(b) = (b - a)(b - c) < 0 và f(a) = (a - b).(a - c) >) 0

   do đó tồn tại x 0  thuộc khoảng (a, b) để  f x 0 =   0

- Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.

Lời giải:

Ta có:
$\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m-1)=5>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Do đó pt luôn có nghiệm với mọi $m\in\mathbb{R}$