Cho đa thức \(Q\left(x\right)=\)\(ax^3+bx^2+cx+d\) với \(a,b,c,d\inℤ.Q\left(x\right)⋮3\)với mọi \(x\inℤ\).Chứng tỏ rằng các hệ số \(a,b,c,d⋮3\)
Cho đa thức \(p\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\) với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng, \(p\left(x\right)⋮5\) với mọi x nguyên. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5.
vì p(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên => p(0), p(1),p(-1),p(2) chia hết cho 5
có p(0) chí hết cho 5
=>a.03+b.02+c.0+d chia hết cho 5
=> d chia hết cho 5
có p(1) chia hết cho 5
=>a.13+b.12+c.1+d chia hết cho 5
=>a+b+c+d chia hết cho 5
mà d chia hết cho 5
=>a+b+c chia hết cho 5 (1)
có p(-1) chia hết cho 5
=> a.(-1)3+b.(-1)2+c.(-1)+d chia hết cho 5
=>-a+b-c+d chia hết cho 5
mà d chia hết cho 5
=>-a+b-c chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) => (a+b+c) + (-a+b-c) chia hết cho 5
=> 2b chia hết cho 5
mà ucln(2,5)=1
=> b chia hết cho 5
mà a+b+c chia hết cho 5
=> a+c chia hết cho 5 (3)
có p(2) chia hết cho 5
=>a.23+b.22+c.2+d chia hết cho 5
=> 8a + 4b+2c+d chia hết cho 5
mà d chia hết cho 5, 4b chia hết cho 5(vì b chí hết cho 5)
=>8a+2c chia hết cho 5
=>2(4a+c) chia hết cho 5
mà ucln(2,5)=1
=>4a+c chia hết cho 5 (4)
Từ (3) và (4) => (4a+c)-(a+c) chia hết cho 5
=> 3a chia hết cho 5
ma ucln(3,5)=1
=> a chia hết cho 5
mà a+c chia hết cho 5
=> c chia hết cho 5
Vậy a,b,c,d chia hết cho 5
vì p(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên => p(0), p(1),p(-1),p(2) chia hết cho 5
có p(0) chí hết cho 5
=>a.03+b.02+c.0+d chia hết cho 5
=> d chia hết cho 5
có p(1) chia hết cho 5
=>a.13+b.12+c.1+d chia hết cho 5
=>a+b+c+d chia hết cho 5
mà d chia hết cho 5
=>a+b+c chia hết cho 5 (1)
có p(-1) chia hết cho 5
=> a.(-1)3+b.(-1)2+c.(-1)+d chia hết cho 5
=>-a+b-c+d chia hết cho 5
mà d chia hết cho 5
=>-a+b-c chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) => (a+b+c) + (-a+b-c) chia hết cho 5
=> 2b chia hết cho 5
mà ucln(2,5)=1
=> b chia hết cho 5
mà a+b+c chia hết cho 5
=> a+c chia hết cho 5 (3)
có p(2) chia hết cho 5
=>a.23+b.22+c.2+d chia hết cho 5
=> 8a + 4b+2c+d chia hết cho 5
mà d chia hết cho 5, 4b chia hết cho 5(vì b chí hết cho 5)
=>8a+2c chia hết cho 5
=>2(4a+c) chia hết cho 5
mà ucln(2,5)=1
=>4a+c chia hết cho 5 (4)
Từ (3) và (4) => (4a+c)-(a+c) chia hết cho 5
=> 3a chia hết cho 5
ma ucln(3,5)=1
=> a chia hết cho 5
mà a+c chia hết cho 5
=> c chia hết cho 5
Cho đa thức \(p\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\) với \(a,b,c,d\) là các hệ số nguyên. Biết rằng \(p\left(x\right)⋮5\) với mọi x nguyên. Chứng minh rằng \(a,b,c,d\) đều chia hết cho 5
p(x)=ax3+bx2+cx+d
p(x)⋮5 ∀ x
=> p(5)⋮5=> (a53+b52+c5+d)⋮5
=> d⋮5
=> (ax3+bx2+cx)⋮5
=>p(1)=a13+b12+c1[p(1)⋮5]
=a+b+c
p(-1)=a(-1)3+b(-1)2+c(-1)[p(-1)⋮5]
=-a+b-c
=>p(1)+p(-1)=(a+b+c)+(-a+b-c)
=b⋮5
=> (ax3+cx)⋮5
ax3+cx
=x(ax2+c)⋮5
=> ax2+c⋮5
Với x=5=> a.52+c⋮5
=> c⋮5
=> ax2⋮5
=>a⋮5
Vậy a,b,c,d ⋮5
Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\) . Biết \(f\left(x\right)=0\) với mọi giá trị của \(x\). Chứng minh \(a=b=c=d=0\)
Giúp e với ạ :<
Ta có:
\(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f\left(x\right)=0x^3+0x^2+0x+0\)
\(\Rightarrow a=b=c=d\left(theo.pp.đa.thức.đồng.nhất\right)\\ Chúc.bạn.học.Toán.tốt.\)
Đề hình như sai
Cho a=1, b=2, c=3, d=0, x=0 có đúng đâu nhỉ
cho đa thức\(P\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\) với a,b,c,d là các hệ số nguyên.Biết rằng, P(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên.Chứng minh rằng : a,b,c,d đeèu chia hết cho 5
Theo bài ra ta có:
\(P(0)=d\\P(1)=a+b+c+d\\P(-1)=-a+b-c+d\\P(2)=8a+4b+2c+d\)
đều là các số chia hết cho 5
Từ đó ta thu được:
- \(d=P(0)\ \vdots \ 5\)
- \(2b=P(1)+P(-1)-2d\ \vdots \ 5 \ \Rightarrow b\ \vdots \ 5\)
- \(6a=P(2)+2P(-1)-5b-3d\ \vdots \ 5 \ \Rightarrow \ a\ \vdots \ 5 \)
- \(c=P(1)-a-b-d \ \vdots \ 5\)
Ta được điều phải chứng minh!
Cho đa thức \(P\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)có các hệ số \(a,b,c,d\in Z\)
Biết rằng: \(P\left(x\right)⋮5\left(\forall x\right)\) Chứng minh rằng: \(a,b,c,d⋮5\)
Cho đa thức \(p\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\) với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng, p(x)\(⋮\) 5 với mọi x nguyên. CMR a, b, c, d đều chia hết cho 5.
Vì p(x) \(⋮\)5 với mọi x
=> Với x =5 => ax3 +bx2 + cx \(⋮\)5 mà p(x)\(⋮\)5 => d \(⋮\)5
=>ax3 +bx2 + cx \(⋮\) với mọi x
tương tự trên => lần lượt c ,b , a \(⋮\)5
=> dpcm
a) Chứng tỏ rằng đa thức: \(f\left(x\right)=5x^3-7x^2+4x-2\) có một trong các nghiệm là 1
b) Chứng tỏ rằng đa thức \(b\left(x\right)=ax^3+bx^3+cx+d\) có một trong các nghiệm là 1 nếu a + b + c+d =0
HELP ME!
\(a)\)\(5x^3-7x^2+4x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(5x^3-5x^2\right)-\left(2x^2-4x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(5x^2\left(x-1\right)-\left(\sqrt{2}x-\sqrt{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(5x^2\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(5x^2\left(x-1\right)-\left(2x-2\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-1\right)\left(5x^2-2x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x-1=0\\5x^2-2x+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\5x^2-2x+2=0\end{cases}}}\)
Vậy \(x=1\) là một trong các nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\)
Hok tốt nhé eiu :>
câu a)
\(5-7+4-2=0\)
\(5x^3-7x+4x-2=0\)
thay x=1 ta được
\(5-7+4-2=0\)
câu B)
có \(a+b+c+d=0.\)
\(ax^3+bx^3+cx+d=0\)
thay x=1
ta được
\(a.1+b.1+c.1+d.1=0\)
vậy x=1 là nghiệm của pt
,
Chứng tỏ rằng nếu đa thức \(M\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)có giá trị nguyên với mòi x nguyên thì \(6a,2b,a+b+c,d\)
là các số nguyên
\(M_{\left(x\right)}=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d\\ M_{\left(0\right)}=d\)
Mà M(x) nguyên nên d nguyên
\(M_{\left(1\right)}=a+b+c+d\) mà d nguyên nên a+b+c nguyên
\(M_{\left(2\right)}=8a+4b+2c+d\)mà d nguyên, a+b+c nguyên nên 6a+2b nguyên
\(M_{\left(-1\right)}=-a+b-c+d\)mà d nguyên, a+b+c nguyên nên b nguyên
Vì b nguyên mà 6a+2b nguyên nên 6a nguyên, 2b nguyên
\(P\left(0\right)=d\inℤ\left(1\right)\)
\(P\left(1\right)=a+b+c+d\inℤ\left(2\right)\)
\(P\left(-1\right)=-a+b-c+d\inℤ\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow2b\inℤ,2a+2c\inℤ\)
\(P\left(2\right)=8a+4b+2c+d=6a+4b+2a+2c+d\inℤ\)
\(\Rightarrow6a\inℤ\)
Vậy \(6a,2b,a+b+c\) và \(d\)là số nguyên
Cho đa thức : A(x) = ax3 + bx2 + cx + d biết \(A\left(x\right)\inℤ\forall x\)
Chứng minh 6a, 2b, a + b +c, d là các số nguyên.