1:

ΔOBC cân tại O

mà OI là trung tuyến

nên OI vuông góc BC

góc OIS=góc OAS=90 độ

=>OIAS nội tiếp

2:

Xet ΔSAO vuông tại A có AH là đường cao

nên SH*SO=SA^2

3:

ΔOAD cân tại O

mà OS là đường cao

nên OS là phân giác của góc AOD

Xét ΔAOS và ΔDOS co

OA=OD

góc AOS=góc DOS

OS chung

=>ΔAOS=ΔDOS

=>góc SDO=90 độ

=>SD là tiếp tuyến của (O)

4: Xet ΔSAK và ΔSIA có

góc SAK=góc SIA

gó ASK chung

=>ΔSAK đồng dạng với ΔSIA

=>SA/SI=SK/SA

=>SA^2=SK*SI

a) Ta có : Góc SAB = 1/2 sđ cung AB ( Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Góc SCA = 1/2 sđ cung AB (Góc nội tiếp)

=> Góc SAB = Góc SCA

Xét hai tam giác : \(\Delta SAB\)và \(\Delta SCA\)có : Góc ASC chung , Góc SAB = góc SCA

=> \(\Delta SAB~\Delta SCA\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{SA}{SC}=\frac{SB}{SA}\Rightarrow SA^2=SB.SC\)

b) Ta có SDA là góc ngoài của tam giác ACD \(\Rightarrow SDA=DAC+DCA=DAC+\frac{1}{2}sdAB\)

Mặt khác, ta có ; \(SAD=BAD+\frac{1}{2}sdAB=DAC+\frac{1}{2}sdAB\)( Vì AD là tia phân giác)

Do đó góc SDA = góc SAD => Tam giác SAD cân tại S => SA = SD

a) Do SA là tiếp tuyến tại A của (O) nên \(\widehat{OAS}=90^o\). Tương tự, ta có \(\widehat{OBS}=90^o\), suy ra \(\widehat{OAS}+\widehat{OBS}=180^o\). Do đó tứ giác SAOB nội tiếp. (đpcm)

 Mặt khác, trong đường tròn (O) có M là trung điểm của dây EF nên \(OM\perp EF\) tại M hay \(\widehat{OMS}=90^o\). Từ đó suy ra \(\widehat{OMS}=\widehat{OAS}\),từ đó tứ giác OMAS nội tiếp. Vì vậy 5 điểm O, M, A, S, B cùng thuộc một đường tròn \(\Rightarrow\) Tứ giác SAMO nội tiếp (đpcm)

b) Ta thấy tứ giác OMAB nội tiếp nên \(\widehat{PMA}=\widehat{PBO}\). Từ đó dễ dàng suy ra \(\Delta PAM~\Delta POB\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{PA}{PO}=\dfrac{PM}{PB}\) \(\Rightarrow PA.PB=PO.PM\) (đpcm)

c) Do tứ giác SAMB nội tiếp nên \(\widehat{SMB}=\widehat{SAB}\) và \(\widehat{SMA}=\widehat{SBA}\). Mặt khác, trong đường tròn (O), có 2 tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại S nên \(SA=SB\) hay \(\Delta SAB\) cân tại S \(\Rightarrow\widehat{SAB}=\widehat{SBA}\) \(\Rightarrow\widehat{SMB}=\widehat{SMA}\) hay MI là phân giác trong của \(\widehat{AMB}\) . Lại có \(MP\perp MI\) nên MP là phân giác ngoài của \(\widehat{AMB}\). Áp dụng tính chất đường phân giác, ta thu được \(\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{MA}{MB}\) và \(\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{MA}{MB}\). Từ đây suy ra \(\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{PA}{PB}\) \(\Rightarrow PA.IB=PB.IA\) (đpcm)

Tia phân giác AD cắt (O) tại E.

+  là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

+  là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây AE

+  lần lượt là các góc nội tiếp chắn các cung 

Từ (1); (2) và (3) suy ra 

⇒ ΔSAD cân tại S

⇒ SA = SD.