a: \(y'=\dfrac{\left(x-4\right)'\left(2x+1\right)-\left(x-4\right)\left(2x+1\right)'}{\left(2x+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{2x+1-2\left(x-4\right)}{\left(2x+1\right)^2}=\dfrac{9}{\left(2x+1\right)^2}\)

Khi x=-1 thì \(y=\dfrac{-1-4}{-2+1}=\dfrac{-5}{-1}=5\)

Khi x=-1 thì \(y'=\dfrac{9}{\left(-2\cdot1+1\right)^2}=\dfrac{9}{\left(-2+1\right)^2}=9\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=-1 là:

y-5=9(x+1)

=>y-5=9x+9

=>y=9x+14

b: \(y'=\dfrac{2'\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)'}{\left(x-3\right)^2}=\dfrac{-2}{\left(x-3\right)^2}\)

Khi x=2 thì \(y=\dfrac{2}{2-3}=-1;y'=-\dfrac{-2}{\left(2-3\right)^2}=-2\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

y-(-1)=-2(x-2)

=>y+1=-2x+4

=>y=-2x+3

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1;0} \right)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(x = 0\).

\(y'=\dfrac{\left(5x-1\right)'\left(x+2\right)-\left(5x-1\right)\cdot\left(x+2\right)'}{\left(x+2\right)^2}\)

\(=\dfrac{5\left(x+2\right)-5x+1}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{5x+10-5x+1}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{11}{\left(x+2\right)^2}\)

\(f\left(-1\right)=\dfrac{-5-1}{-1+2}=-6\)

f'(-1)=11/(-1+2)^2=11

Phương trình tiếp tuyến tại M(-1;-6) là:

y=11(x+1)+(-6)=11x+11-6=11x+5

a) Thay điểm \(M(4;6)\)vào phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\)

ta có:

\({4^2} + {6^2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0\)

Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C)

b) Đường tròn có tâm \(I(1;2)\)

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại \(M(4;6)\) là:

\(\begin{array}{l}\left( {1 - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {2 - 6} \right)\left( {y - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 4y -36 = 0\end{array}\)

c) Tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) nên phương trình có dạng \(d:4x + 3y + c = 0\)

Ta có tâm và bán kính của đường tròn là: \(I(1;2),r = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 20}  = 5\)

Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính nên: \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 3.2 + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c =  - 35\end{array} \right.\)

Vậy đường tròn (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) là \({d_1}:4x + 3y + 15 = 0,{d_2}:4x + 3y - 35 = 0\)

a, Phương trình tiếp tuyến đi qua M: \(ax+by-3a+b=0\left(\Delta\right)\)

Đường tròn đã cho có tâm \(I=\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Ta có: \(d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|a-2b-3a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+b\right)^2=5\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=2b\)

\(\Rightarrow\Delta:2x+y-5=0\)

b, Phương trình tiếp tuyến: \(\left(d\right)2x-y+m=0\left(m\in R\right)\)

Ta có: \(d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|2.1-1.\left(-2\right)+m\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left|m+4\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d:2x-y+1=0\\d:2x-y-9=0\end{matrix}\right.\)

Đường tròn (S) tâm \(I\left(-1;-3\right)\) bán kính \(R=3\)

Thế tọa độ A vào pt (S) thỏa mãn nên A nằm trên đường tròn

Ta cần tìm B, C sao cho chi vi ABC lớn nhất

Đặt \(\left(AB;AC;BC\right)=\left(c;b;a\right)\Rightarrow\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R\)

\(\Rightarrow a+b+c=2R\left(sinA+sinB+sinC\right)\)

Mặt khác ta có BĐT quen thuộc \(sinA+sinB+sinC\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) 

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều

\(\Rightarrow a=b=c=2R.sin60^0=3\sqrt{3}\)

Khi đó I đồng thời là trọng tâm kiêm trực tâm \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC\perp AI\\d\left(A;BC\right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình BC có dạng \(y=-\dfrac{3}{2}\)

Hay (Cm) có 1 tiếp tuyến là \(y=-\dfrac{3}{2}\) (hệ số góc bằng 0 nên tiếp tuyến này đi qua 2 cực tiểu)

\(\Rightarrow m=-1\)