Đáp án C

Đường thẳng ∆ có 1 VTPT  n → ( 1 ; - 2 ) .

Gọi  H( 2t-4; t) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆  thì: ( 2 t - 8 ; t - 1 )

M H →   v à   n → ( 2 ; - 3 )  cùng phương khi và chỉ khi

Đáp án B

Phương trình mặt phẳng (Oyz) là x=0 và hình chiếu của điểm I(a;b;c) lên mặt phẳng (Oyz) là (0;b;c).

a) Do MH vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nên ta có vecto chỉ phương của MH là: \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\)

b) Phương trình tham số của đường thẳng MH đi qua \(M\left( { - 1;1} \right)\) có vecto chỉ phương\(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 1 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)

c) H là giao điểm của MH và đường thẳng \(\Delta \)

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\2x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\) . Vậy tọa độ điểm H là: \(H\left( {1;2} \right)\)

Độ dài đoạn thẳng MH là: \(MH = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{2^2} + {1^2}}  = \sqrt 5 \)

Gọi I(a;b;c) và r lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S).

Phương trình mặt cầu (S) có dạng: (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r².

a) (S) đi qua các điểm C(2;-4;3), (2;0;0), (0;-4;0) và (0;0;3).

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2-a\right)^2+\left(-4-b\right)^2+\left(3-c\right)^2=r^2\\\left(2-a\right)^2+b^2+c^2=r^2\\a^2+\left(-4-b\right)^2+c^2=r^2\\a^2+b^2+\left(3-c\right)^2=r^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) a=1, b=-2, c=3/2, r²=29/4.

Phương trình cần tìm là: (S): (x-1)²+(y+2)²+(z-3/2)²=29/4.

b) (S) đi qua các điểm C(2;-4;3), (2;-4;0), (2;0;3) và (0;-4;3).

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2-a\right)^2+\left(-4-b\right)^2+\left(3-c\right)^2=r^2\\\left(2-a\right)^2+\left(-4-b\right)^2+c^2=r^2\\a^2+\left(-4-b\right)^2+\left(3-c\right)^2=r^2\\\left(2-a\right)^2+b^2+\left(3-c\right)^2=r^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) a=1, b=-2, c=3/2, r²=29/4.

Phương trình cần tìm là: (S): (x-1)²+(y+2)²+(z-3/2)²=29/4.

Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d

\(\Rightarrow d'\) nhận (2;1) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(2\left(x-4\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x+y-9=0\)

Hình chiếu vuông góc của A lên d là giao điểm d và d' có tọa độ là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+4=0\\2x+y-9=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{14}{5}\\y=\dfrac{17}{5}\end{matrix}\right.\)

Phương trình đường vuông góc kẻ từ M đến d là \(2x+y-6=0\)

Hình chiếu của M trên d có tọa độ là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\2x+y-6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{11}{5}\\y=\dfrac{8}{5}\end{matrix}\right.\)

Phương trình đường thẳng vuông góc kẻ từ M đến d là \(2x+y-2=0\)

Hình chiếu của M có tọa độ là nghiệm hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\2x+y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\y=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

Phương trình d' qua M và vuông góc d có dạng: 

\(2\left(x-2\right)+1\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow2x+y-2=0\)

Hình chiếu vuông góc của M lên d là giao điểm d và d' nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\2x+y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\y=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)

Đáp án D.

Mặt phẳng (P) có 1 vecto pháp tuyến n → = ( 6 ; 3 ; - 2 )

Đường thẳng AH qua A và vuông góc vưới (P)

Suy ra phương trình của đường thẳng AH là

Suy ra H(2+6t; 5+3t; 1-2t)

Mà 

Vậy H(-4;2;3)