a) Gọi N là giao của AD và BE.

Có: \(\widehat{ADB}=\widehat{AEB}\left(KB\widehat{ADC}=\widehat{BEC}\right)\);\(\widehat{ANE}=\widehat{BND}\)(ĐĐ)

\(\Rightarrow\Delta ANE\sim\Delta BND\left(gg\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{NAE}=\widehat{NBD}\)

\(\Rightarrow2\widehat{NAE}=2\widehat{NBD}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ABC}\)

Cách 1:

Kẻ \(IH\perp AB,IK\perp AC\).Ta có \(\Delta IHE=\Delta IKD\)(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

 \(\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{IDK}\)          (1)

Xét 4 trường hợp :

a) H thuộc đoạn BE ,K thuộc đoạn CD ( hình a)

Từ (1) \(\Rightarrow\widehat{A}+\frac{\widehat{C}}{2}=A+\widehat{\frac{B}{2}}\) ,do đó \(\widehat{C}=\widehat{B}\)

b) H thuộc đoạn BE,K thuộc đoạn AD.Chứng min tương tự như phần a ta được \(\widehat{C}=\widehat{B}\) 

c)  H thuộc đoạn AE ,K thuộc đoạn AD (hình b )

Từ (1) ta có : 

\(\widehat{A}+\frac{\widehat{C}}{2}=A+\widehat{\frac{B}{2}}\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{\frac{B}{2}}+\widehat{\frac{C}{2}}\)

\(\Rightarrow2\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}\)

\(\Rightarrow3\widehat{A}=\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=60^o,\widehat{B}+\widehat{C}=120^o.\)

d) H thuộc đoạn AE,K thuộc đoạn CD.Chứng min tương tự như phần c ta được : \(\widehat{B}+\widehat{C}=120^o\).

Cách 2

Không mất tín tổng quát,giả sử \(AD\ge AE\).Xét 2 trường hợp :

a) Trường hợp AD= AE ( hình c)

\(\Delta ADI=\Delta AEI\left(c.c.c\right)\Rightarrow\widehat{ADI}=\widehat{AEI}\)

\(\Delta ADB\)và \(\Delta AEC\) có \(\widehat{A}\) chung,\(\widehat{ADI}=\widehat{AEI}\)nên \(\widehat{B}_1=\widehat{C}_1.\)

Do đó \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

b) Trường hợp AD>AE.Lấy F trên AD sao cho À=AE (hình d)

\(\Delta AFI=\Delta AEI\left(c.g.c\right)\Rightarrow IF=IE,\widehat{F_1}=\widehat{E}_1\)

Do IE=ID nên IF =ID,do đó \(\widehat{F_1}=\widehat{D_1}\).

\(\Rightarrow\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\),tức là \(\widehat{A}+\widehat{\frac{B}{2}}=\widehat{B}+\frac{\widehat{C}}{2}.\)

Biến đổi như cách 1,ta được \(\widehat{B}+\widehat{C}=120^o\).

P/s:Hình xấu :) 

Vì  ΔABC ∽ ΔDEF \( \Rightarrow \widehat A = \widehat D{,^{}}\widehat B = \widehat E{,^{}}\widehat C = \widehat F\)

Mà \(\widehat A = {60^o} \Rightarrow \widehat D = {60^o}\)

\(\widehat E = {80^o} \Rightarrow \widehat B = {80^o}\)

Có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\)

\( \Rightarrow \widehat C = \widehat F = {180^o} - {60^o} - {80^o} = {40^o}\)

Do ΔABC cân tại B => A = C = \(\dfrac{180^o-80^o}{2}=50^o\)

=> góc BAI = 50^o - 10^o = 40^o 

góc BCI = 50^o - 30^o = 20^o

=> \(IBC=\dfrac{1}{3}ABI\Rightarrow IBC=\dfrac{80^o}{3+1}=20^o;ABI=80^o-20^o=60^o\)

\(\Leftrightarrow AIB=180^o-40^o-60^o=80^o\)

\(1,\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\\ \text{Mà }\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}\\ \Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{180^0}{3}=60^0\\ 2,\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\\ \Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=180^0-\widehat{A}=110^0\\ \text{Mà }\widehat{B}-\widehat{C}=10^0\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}=\left(110^0+10^0\right):2=60^0\\\widehat{C}=60^0-10^0=50^0\end{matrix}\right.\)

B

B

B