Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn \(90^o\) . Vẽ ra phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng \(90^o\) ) . Vẽ DI , EK và AH cùng vuông góc với đường thẳng BC ( I , K , H thuộc đường thẳng BC ) .
1) Chứng minh AH = CK
2)Chứng minh BC=DI+EK
3) Gọi T là giao điểm của DB và EC , tìm điều kiện của tam giác ABC để ba điểm A , H , T thẳng hàng
(Hình em tự vẽ nha)
1, Vì ΔCEK vuông tại K nên \(\widehat{CEK}+\widehat{ECK}=90^o\left(1a\right)\)
Mặt khác: \(\widehat{ACH}+\widehat{ACE}+\widehat{ECK}=180^o=>\widehat{ACH}+\widehat{ECK}=90^o\left(1b\right)\)
Từ (1a), (1b) suy ra: \(\widehat{CEK}=\widehat{ACH}\)
Xét hai tam giác vuông ACH và CEK bằng nhau (ch-gn)
=> AH = CK (Đpcm)
2. Theo chứng minh câu 1, ΔACH = ΔCEK => CH = EK (2a)
Vì tam giác DIB vuông tại I nên \(\widehat{IDB}+\widehat{DBI}=90^o\)
Mặt khác: \(\widehat{DBI}+\widehat{ABH}=90^o\)
=> \(\widehat{IDB}=\widehat{ABH}\)
Xét hai tam giác vuông IDB và HBA bằng nhau (ch-gn)
=> DI = BH (2b)
Do H nằm giữa B và C nên: CH + BH = BC (2c)
Thay (2a), (2b) vào (2c) suy ra: BC = DI + EK (Đpcm)
3. Xét tam giác DTE có \(\widehat{EDT}=\widehat{DET}=45^o\)
=> Δ DTE vuông cân tại T
Để A, H, T thẳng hàng ⇔ HT // EK
=> \(\widehat{HTC}=\widehat{CEK}=\widehat{ACH}\)
=> AH = TH => ΔATC có CH vừa là đường cao, vừa là đường phân giác => ΔATC cân tại C => ΔABC = ΔTBC (c-g-c)
=> \(\widehat{BAC}=\widehat{BTC}=90^o\) => ΔABC vuông tại A
