Bài 10.a) Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số.
b) Tìm số tự nhiên a, biết rằng 398 chia cho a thì dư 38, còn 450 chhia cho a thì dư 18.
c) Tìm cặp số nguyên (x;y) biết rằng: (x+2012).(y+2013) = 3.
Bài 12.Tìm x biết :
a) 5x = 125
b) (x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3 ) + …. + (x + 100) = 5750
c) chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1.
Bài 12.a) Thay các chữ bởi các chữ số thích hợp:
b) Tìm số nguyên n sao cho:
c) Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 30, ƯCLN của chúng bằng 6.
Bài 13.a) Tìm biết:
b) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn:
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: với
Bài 14.Tìm x, biết:
a)
b)
c)
Bài 15.a) Tìm các cặp số nguyên (x,y,z) sao cho
b) Tìm một số có bốn chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
c) Biết a, b là các số tự nhiên khác không và có giá trị là số tự nhiên.Gọi d là ước chung lớn nhất của a và b. Chứng minh rằng: .
Bài 16.a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: 1! + 2! + 3! + ... + n! là số chính phương.
b) Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn:
c)Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố.
Bài 17.Tìm x nguyên biết:
a)2x + 2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3 = 480.
b) 2 + 4 + 6 + 8 + …+2x = 156
c) (x2 - 49) (x2 - 81) < 0.
d)
e)
Bài 18.Cho dãy số gồm 100 số tự nhiên bất kì a1, a2, a3,... a100. Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 100 hoặc tổng của một số số liên tiếp trong dãy đã cho chia hết cho 100.
Bài 19.Cho là các số nguyên và cũng là các số nguyên đó nhưng lấy theo thứ tự khác. Chứng minh rằng: luôn là một số chẵn.
Bài 20.
a) Tìm số nguyên tố p để và đều là các số nguyên tố.
b) Tìm ƯCLN(4n + 1; 6n + 1) với mọi n là số tự nhiên.
Bài 21.Cho một số tự nhiên x chia 7 dư 5, chia 13 dư 11
a, CMR: x + 2 chia hết cho 91
b, Tìm số dư của x khi chia cho 91
Bài 22.Giải các bài toán đố sau:
1) Một đoàn học sinh đi tham quan bằng ôtô, nếu xếp 40 hay 45 em lên một xe thì đều vừa đủ. Tính số học sinh đi tham quan, biết số học sinh đó vào khoảng 700 đến 800 em.
2) Một đám đất hình chữ nhật chiều dài 52m, chiều rộng 36m. Người ta muốn chia đám đất đó ra thành những khoảng hình vuông bằng nhau để trồng rau. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông đó.
3) Một lớp học có 20 nam và 24 nữ. Có bao nhiêu cách chia số nam và số nữ vào các tổ sao cho trong mỗi tổ số nam và số nữ đều như nhau? Với cách chia nào thì mỗi tổ có số học sinh ít nhất?
4) Số học sinh của một trường ít hơn 2000 em. Khi xếp hàng 36, 48 và 52 đều thừa 8 em. Tính số học sinh của trường.
5) Một số tự nhiên khi chia cho 16 và 18 thì được dư lần lượt là 13 và 15. Tìm số đó biết rằng số đó nằm trong khoảng từ 100 đến 150.
6) Tìm số chia và thương của phép chia số tự nhiên có số bị chia bằng 9578 và số dư liên tiếp là 5, 3 và 2.
Bài 10:
a)Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
\(\left[{}\begin{matrix}p=3k+1\\p=3k+2\end{matrix}\right.\)(k∈N*)
Nếu \(p=3k+1\)
\(\Rightarrow2p+1=2\left(3k+1\right)+1=6k+2+1=6k+3⋮3\) mà \(6k+3>3\) nên là hợp số, vô lý
\(\Rightarrow p=3k+2\)
\(\Rightarrow4p+1=4\left(3k+2\right)+1=12k+8+1=12k+9⋮3\)
mà \(12k+9>3\) nên là hợp số (đpcm)
b)Theo bài ra, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(398-38\right)⋮a\\\left(450-18\right)⋮a\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}360⋮a\\432⋮a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a\inƯ\left(72\right)=\left\{1;2;3;4;6;8;9;12;18;24;36;72\right\}\)
Mà ta lại có:
Số chia luôn luôn lớn hơn số dư nên a=72 thỏa mãn đề bài
c)Do \(\left(x+2012\right)\left(y+2013\right)=3\Rightarrow x+2012;y+2013\inƯ\left(3\right)\)
Ta có bảng sau:
| \(x+2012\) | \(-3\) | \(-1\) | 1 | 3 |
| \(y+2013\) | \(-1\) | \(-3\) | 3 | 1 |
| x | \(-2015\) | \(-2013\) | \(-2011\) | \(-2009\) |
| y | \(-2014\) | \(-2016\) | \(-2010\) | \(-2012\) |
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-2015;-2014\right);\left(-2013;-2016\right);\left(-2011;-2010\right);\left(-2009;-2012\right)\right\}\)
Bài 11:
a) \(5^x=125\Rightarrow5^x=5^3\Rightarrow x=3\)
b)\(\left(x+1\right)+\left(x+2\right)+\left(x+3\right)+...+\left(x+100\right)=5750\)
\(\Rightarrow100x+\left(1+2+3+...+100\right)=5750\)
\(\Rightarrow100x+\frac{100.101}{2}=5750\)
\(\Rightarrow100x+5050=5750\)
\(\Rightarrow100x=700\Rightarrow x=7\)
Bài 12:
Gọi 2 số đó là a và b (a, b∈N*)
Theo bài ra, ta có:
\(a+b=30\) và ƯCLN\(\left(a,b\right)=6\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=6x\\b=6y\end{matrix}\right.\)\(\left(x,y\right)=1\)
\(\Rightarrow a+b=6x+6y=6\left(x+y\right)=30\Rightarrow x+y=5\)
Ta có bảng sau:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| a | 0(loại) | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 |
| b | 30 | 24 | 18 | 12 | 6 | 0(loại) |
Bài 16:
a)Xét n=1, thỏa mãn
Xét n=2, vô lý
Xét n=3, thỏa mãn
Xét n=4, vô lý
Xét n\(\ge5\), ta có:
\(1!+2!+3!+4!+5!+....+n!\) có tận cùng bằng 3 nên không là số chính phương
⇒\(\left[{}\begin{matrix}n=1\\n=3\end{matrix}\right.\)thỏa mãn đề bài
