Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\). Bài toán tuyệt vời của chúng ta trở thành:
Cho \(a,b,c>0;a^2+b^2+c^2=1\). Tìm Min:
\(P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\) . Đây quả là một bài toán quá quen thuộc:D
Thử thay \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow P=\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\). Ta sẽ chứng minh đó là Min P. Thật vậy ta cần chứng minh:
\(P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Đầu tiên ta chứng minh BĐT: \(\frac{a}{1-a^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{a\left(1-a^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow a\left(1-a^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow a^2\left(1-a^2\right)^2\le\frac{4}{27}\). Theo BĐT AM-GM, ta có
\(a^2\left(1-a^2\right)^2=\frac{1}{2}.2a^2\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)
Vậy BĐT (1) đúng. Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế ta thu được min P.
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)
Vậy ....
P/s: Em làm đúng không ạ?@Nguyễn Việt Lâm
