Lời giải:
Từ $a+b+c=0$ suy ra:
\(a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(-a-b)^2=2a^2+2ab+2b^2\)
Đặt \(2a^2+2ab+2b^2=t^2(*)\) $(t\in\mathbb{Z})$
Dễ thấy $2a^2+2ab+2b^2$ chẵn nên $t^2$ chẵn $\rightarrow t$ chẵn. Đặt $t=2t_1$ thì PT $(*)$ trở thành:
\(a^2+ab+b^2=2t_1^2\)
Nếu $a,b$ đều lẻ thì $a^2+ab+b^2$ lẻ, vô lý vì $2t_1^2$ chẵn
Nếu $a,b$ có 1 số chẵn, 1 số lẻ thì $a^2+ab+b^2$ cũng lẻ, mà $2t_1^2$ chẵn lên loại
Do đó $a,b$ đều chẵn. Đặt $a=2a_1,b=2b_1$ $(a_1,b_1\in\mathbb{Z}$
Khi đó:
\((2a_1)^2+2a_12b_1+(2b_1)^2=2t_1^2\)
\(\Leftrightarrow 2a_1^2+2a_1b_1+2b_1^2=t_1^2\) (giống PT $(*)$)
Từ đây có thể kết luận nếu $(a,b)$ là 1 nghiệm của $(*)$ thì $(a_1,b_1)$ cũng vậy. Cứ tiếp tục lùi vô hạn ta thấy rằng $a,b$ chia hết cho $2^k$ với mọi $k$ tự nhiên tùy ý. Điều này chỉ xảy ra khi $a=b=0$
Kéo theo $c=0$
Vậy $a=b=c=0$
