Violympic toán 9

Nguyễn Đình Thành

Cho a,b,c dương. Chứng minh: \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)

 Mashiro Shiina
7 tháng 12 2018 lúc 0:03

Áp dụng bđt AM-GM:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\\\sqrt{b\left(c+a\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\\\sqrt{c\left(a+b\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\)

\(=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{b\left(a+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}\)

\(\ge\dfrac{a}{\dfrac{a+b+c}{2}}+\dfrac{b}{\dfrac{a+b+c}{2}}+\dfrac{c}{\dfrac{a+b+c}{2}}\)

\(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)}=2\)

Dấu "=" ko xảy ra nên ta có đpcm

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN