Lời giải:
a) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $ABD$:
\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\) (cm)
b)
Vì $AB=AC$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A$. Mà $\widehat{B}=60^0$ \(\Rightarrow \triangle ABC\) là tam giác đều.
\(\Rightarrow \widehat{A_1}=60^0\)
Xét tam giác vuông $AHB$: \(\frac{BH}{AB}=\sin \widehat{A_1}=\sin 60^0=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow BH=AB.\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\) (cm)
\(\widehat{A_2}=\widehat{DAB}-\widehat{A_1}=90^0-60^0=30^0\)
Xét tam giác vuông $DAK$ : \(\frac{DK}{AD}=\sin \widehat{A_2}=\sin 30^0=\frac{1}{2}\Rightarrow DK=AD.\frac{1}{2}=5\) (cm)
c)
\(\frac{AK}{AD}=\cos \widehat{A_2}=\cos 30^0=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AK=AD.\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\) (cm)
\(\frac{AH}{AB}=\cos \widehat{A_1}=\cos 60^0=\frac{1}{2}\Rightarrow AH=\frac{AB}{2}=5\) (cm)
\(\Rightarrow HK=AK-AH=5\sqrt{3}-5\) (cm)
d) Theo phần b ta đã chỉ ra tam giác $ABC$ đều nên $BC=AB=10$ (cm)
Vì $AC=AD$ nên tam giác $ACD$ cân tại $A$
\(\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{ADC}=\frac{180^0-\widehat{DAC}}{2}=\frac{180^0-\widehat{A_2}}{2}=75^0\)
Tứ giác $ABED$ có:
\(\widehat{ABE}=360^0-(\widehat{ADE}+\widehat{DAB}+\widehat{BED})=360^0-(75^0+90^0+90^0)=105^0\)
\(\Rightarrow \widehat{CBE}=\widehat{ABE}-\widehat{ABC}=105^0-60^0=45^0\)
Do đó tam giác $BCE$ vuông cân tại $E$
\(\rightarrow \frac{BE}{BC}=\cos \widehat{CBE}=\cos 45^0=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow CE=BE=BC.\frac{1}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\) (cm)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $DKC$:
\(DC=\sqrt{DK^2+KC^2}=\sqrt{DK^2+(AC-AK)^2}=\sqrt{5^2+(10-5\sqrt{3})^2}=5\sqrt{6}-5\sqrt{2}\) (cm)
