Câu hỏi của Cù Minh Duy

Question

Cho $\Delta ABC$ đều. H là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE, các đường vuông góc với BC hạ từ D,E lần lượt cắt BC tại M và N. DE cắt BC tạ...

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

a)

Xét tam giác $ABH$ và $ACH$ có:
$AB=AC$ do tam giác $ABC$ đều

$BH=CH=\frac{BC}{2}$

$AH$ chung

$\Rightarrow \triangle ABH=\triangle ACH(c.c.c)$

b) Vì tam giác $ABC$ đều nên $\widehat{DBM}=\widehat{ACH}$

Mà $\widehat{ACH}=\widehat{ECN}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{DBM}=\widehat{ECN}$

Xét 2 tam giác vuông $BDM$ và $CEN$ có:

$\left\{\begin{matrix}
BD=CE\
\widehat{DBM}=\widehat{ECN}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle BDM=\triangle CEN(ch-gn)$

$\Rightarrow DM=EN$

Lại có: $DM\parallel EN$ (cùng vuông góc với BC)

$\Rightarrow \widehat{MDI}=\widehat{NEI}$ ( so le trong)

Xét tam giác $MDI$ và $NEI$ có:

$\widehat{MDI}=\widehat{NEI}(cmt)$

$DM=EN$

$\widehat{DMI}=\widehat{ENI}=90^0$

$\Rightarrow \triangle MDI=\triangle NEI(g.c.g)\Rightarrow DI=EI$, do đó $I$ là trung điểm của $DE$Câu trả lời: Lời giải:

a)

Xét tam giác $ABH$ và $ACH$ có:
$AB=AC$ do tam giác $ABC$ đều

$BH=CH=\frac{BC}{2}$

$AH$ chung

$\Rightarrow \triangle ABH=\triangle ACH(c.c.c)$

b) Vì tam giác $ABC$ đều nên $\widehat{DBM}=\widehat{ACH}$

Mà $\widehat{ACH}=\widehat{ECN}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{DBM}=\widehat{ECN}$

Xét 2 tam giác vuông $BDM$ và $CEN$ có:

$\left\{\begin{matrix}
BD=CE\
\widehat{DBM}=\widehat{ECN}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle BDM=\triangle CEN(ch-gn)$

$\Rightarrow DM=EN$

Lại có: $DM\parallel EN$ (cùng vuông góc với BC)

$\Rightarrow \widehat{MDI}=\widehat{NEI}$ ( so le trong)

Xét tam giác $MDI$ và $NEI$ có:

$\widehat{MDI}=\widehat{NEI}(cmt)$

$DM=EN$

$\widehat{DMI}=\widehat{ENI}=90^0$

$\Rightarrow \triangle MDI=\triangle NEI(g.c.g)\Rightarrow DI=EI$, do đó $I$ là trung điểm của $DE$

Akai Haruma · Answer

c) Vì $I$ là trung điểm của $DE$ (đã chứng minh ở phần b)

Mà $KI\perp DE$ nên $KI$ là đường trung trực của $DE$

Do đó: $KD=KE$

Mặt khác: Vì theo phần a, $\triangle AHB=\triangle AHC\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}$

Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0$

Do đó: $AH\perp BC$ hay $KH\perp BC$

Mà $H$ là trung điểm $BC$ nên $KH$ là đường trung trực của $BC$

Do đó: $KB=KC$

Xét tam giác $BDK$ và $CEK$ có:

$BD=CE$ (giả thiết)

$BK=CK$ (cmt)

$DK=EK$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle BDK=\triangle CEK(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{DBK}=\widehat{ECK}$

Lại thấy: $\widehat{DBK}=\widehat{ABK}=\widehat{ACK}$ (dễ thấy do $\triangle ABK=\triangle ACK(c.c.c)$ ))

Do đó: $\widehat{ECK}=\widehat{ACK}$ . Hai góc này lại là 2 góc bù nhau nên mỗi góc bằng $90^0$

$\Rightarrow AC\perp CK$ (đpcm)Câu trả lời: c) Vì $I$ là trung điểm của $DE$ (đã chứng minh ở phần b)