Bài 4: Ôn tập chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Thảo Nguyễn Phương

tìm giá trị lớn nhất M của hàm số\(y=a+b\sqrt{sinx}+c\sqrt{cosx};x\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right);a^2+b^2+c^2=3\)

Akai Haruma
22 tháng 10 2020 lúc 16:17

Bạn xem lại đề. Mình thấy $x\in (0; \frac{\pi}{4}]$ thì hợp lý hơn @_@

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
23 tháng 10 2020 lúc 15:18

Nếu miền giá trị của x có "chạm" vào \(\frac{\pi}{4}\) thì:

\(y^2=\left(a.1+b.\sqrt{sinx}+c.\sqrt{cosx}\right)^2\)

\(\Rightarrow y^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1+sinx+cosx\right)\)

\(\Rightarrow y^2\le3\left[1+\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]\le3\left(1+\sqrt{2}\right)\)

\(\Rightarrow y\le\sqrt{3+3\sqrt{2}}\)

\(M=\sqrt{3+3\sqrt{2}}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}\\b=c=\sqrt{\frac{6-3\sqrt{2}}{2}}\\a=\sqrt{3\sqrt{2}-3}\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
23 tháng 10 2020 lúc 15:31

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(y^2=(a+b\sqrt{\sin x}+c\sqrt{\cos x})^2\leq (a^2+b^2+c^2)(1+\sin x+\cos x)=3(1+\sin x+\cos x)\)

$(\sin x+\cos x)^2=\sin ^2x+\cos ^2x+2\sin x\cos x=1+\sin 2x\leq 1+1=2$ với mọi $x\in (0;\frac{\pi}{4}]$

$\Rightarrow \sin x+\cos x\leq \sqrt{2}$

$\Rightarrow 1+\sin x+\cos x\leq \sqrt{2}+1$

Do đó: $y^2\leq 3(1+\sqrt{2})$

$\Rightarrow y\leq \sqrt{3+3\sqrt{2}}$

Vậy $M=\sqrt{3+3\sqrt{2}}$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
hạ băng
Xem chi tiết
lu nguyễn
Xem chi tiết
hạ băng
Xem chi tiết
lu nguyễn
Xem chi tiết
Thùy Oanh Nguyễn
Xem chi tiết
Thùy Oanh Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn thị Phụng
Xem chi tiết
Thùy Oanh Nguyễn
Xem chi tiết
Phụng Nguyễn Thị
Xem chi tiết