Question

chứng minh a²+b²+c² \(\ge\)ab+bc+ac

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: a² + b² \(\ge\) 2ab

Tương tự: b² + c² \(\ge\) 2bc; c² + a² \(\ge\) 2ca.

Cộng các vế của các BĐT trên ta sẽ có dpcm.

Answer 2

Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) \(a^2+b^2\ge2ab\) ( 1 )

Tương tự : \(b^2+c^2\ge2bc\) ( 2 )

\(a^2+c^2\ge2ac\) ( 3 )

Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ), cộng vế theo vế, ta có :

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow\) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow\) đpcm