Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

\(y'=2f'\left(2x+1\right)\) nên  \(f\left(2x+1\right)\) cùng số cực trị với \(y=f\left(x\right)\)

Hàm \(f\left(x\right)\) có 1 cực trị do \(f'\left(x\right)=0\) có 1 nghiệm bội lẻ x=2

\(\Rightarrow y=f\left(2x+1\right)\) có 1 cực trị

Có lẽ cô lập m sẽ ngắn hơn xài tam thức:

\(y'=mx^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-2\right)\ge0;\forall x\ge2\)

\(\Leftrightarrow m\left(x^2-2x+3\right)\ge-2x+6\) ; \(\forall x\ge2\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3};\forall x\ge2\) (do \(x^2-2x+3>0;\forall x\))

\(\Rightarrow m\ge\max\limits_{x\ge2}\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}\) với \(x\ge2\) 

\(f'\left(x\right)=\dfrac{2\left(x^2-6x+3\right)}{\left(x^2-2x+3\right)^2}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3-\sqrt{6}< 2\left(loại\right)\\x=3+\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)

\(f\left(2\right)=\dfrac{2}{3}\) ; \(f\left(3+\sqrt{6}\right)=\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0\)

\(\Rightarrow\max\limits_{x\ge2}\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow m\ge\dfrac{2}{3}\)

Với \(m=0\Rightarrow y=x^2-6x+\dfrac{1}{3}\) đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right)\) không thỏa mãn

Với \(m\ne0\)

\(y'=f\left(x\right)=mx^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-2\right)=0\)

Có \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-3m\left(m-2\right)=-2m^2+4m+1\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge\dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\) hàm đồng biến trên R (thỏa mãn)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\Delta'>0\\x_1< x_2\le2\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< m< \dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\\m.f\left(2\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{2\left(m-1\right)}{m}< 2\\\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< m< \dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\\m\left(3m-2\right)\ge0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\dfrac{2}{3}\le m< \dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\)

Kết hợp lại ta được \(m\ge\dfrac{2}{3}\)

\(y'=3x^2+6mx+3\left(m^2-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+m\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-m+1\Rightarrow y=3m-2\\x=-m-1\Rightarrow y=3m+2\end{matrix}\right.\) 

(Lưu ý là \(y=x^3+3mx^2+3\left(m^2-1\right)x+m^3=\left(x+m\right)^3-3x\) sử dụng cái này để thay x tính y cho lẹ, rút gọn được biểu thức ngay mà ko cần phải xài hằng đẳng thức bậc 3 dài dòng)

Hàm có 2 cực trị nằm về 2 phía trục hoành khi:

\(\left(3m-2\right)\left(3m+2\right)< 0\)

\(\Rightarrow-\dfrac{2}{3}< m< \dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow a+2b=-\dfrac{2}{3}+2.\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}\)

\(f\left(sinx\right)=-\dfrac{4}{3}\) \(\Rightarrow sinx=\left\{t_1;t_2;t_3;t_4\right\}\)

Trong đó \(t_1< -1\) ; \(-1< t_2< 0\) ; \(0< t_3< 1\) ; \(t_4>1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinx=t_1\\sinx=t_4\end{matrix}\right.\) vô nghiệm

Từ đường tròn lượng giác ta thấy trên đoạn đã cho \(y=t_2\) cắt trục đường tròn lại 2 điểm, \(y=t_3\) cắt đường tròn tại 3 điểm

\(\Rightarrow\) Pt có 5 nghiệm

Để vẽ đồ thị hàm $f(|x|)$, ta xoá phần đồ thị bên trái và vẽ đối xứng phần đồ thị bên phải qua trục tung. Vậy hàm $f(|x|)$ có 3 điểm cực trị.

\(x=-\dfrac{c}{b}\) là tiệm cận đứng \(\Rightarrow-\dfrac{c}{b}=3\Rightarrow c=-3b\) 

\(y=2\) là tiệm cận ngang \(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{ax+6}{bx+c}=\dfrac{a}{b}=2\Rightarrow a=2b\)

Hàm đồng biến trên các khoảng xác định \(\Rightarrow ac-6b>0\)

\(\Rightarrow2b.\left(-3b\right)-6b>0\Rightarrow b\left(b+1\right)< 0\)

\(\Rightarrow-1< b< 0\)

\(\Rightarrow a=2b< 0;c=-3b>0\)

Vậy có đúng 1 số dương là c (A là đáp án đúng)

$AA'=BB'=2a\sqrt{13}$;

$\widehat{(CC' ; (ABC))}=\widehat{(BB' ; (ABC))}=\widehat{B'BG}=60^{o}$.

Từ đây, ta tính được $B'G=a \sqrt{39}$ (cũng là chiều cao của hình chóp cần tính), $BG= a\sqrt{13}$

suy ra $BM= \dfrac{3a\sqrt{13}}{2}$ 

Trong tam giác vuông $ABC$, đặt $AM=x$, suy ra $AC=2x$, $BC=2x \sqrt{3}$.

Lập phương trình ẩn $x$ qua định lí Py - ta - go trong tam giác $BCM$ vuông tại $C$.

$x^2+(2x\sqrt{3})^2=BM^2=(\dfrac{3a\sqrt{13}}{2})^2$

Từ đây ta tính được $x=\dfrac{3a}{2}$.

Do đó $AC=3a, BC=3a \sqrt{3}$, ta tính được diện tích đáy.

Việc tính thể tích hình chóp em tự tính nốt nhé!

\(V_{ABCD.A'B'C'D'}=a^3\)

=>\(V_{ABDB'}=\dfrac{1}{3}\cdot a^3\)

Đường thẳng qua 2 cực trị của hàm bậc 2 trên bậc nhất dạng \(y=\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) nếu có sẽ có dạng: \(y=\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\)

Do đó, đường thẳng qua 2 cực trị của hàm trong bài là:

\(y=\dfrac{\left(x^2-x+2\right)'}{\left(x+2\right)'}=\dfrac{2x-1}{1}=2x-1\)

\(x_1;x_2\) là nghiệm pt \(y'=x^2-x-4=0\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\) theo Viet

\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1^2-2.\left(-4\right)=9\)