Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}ax^3+bx^2+c=\left(x-2\right)\left(ax^2+\left(b+2a\right)x+2\left(b+2a\right)\right)+c+4\left(b+2a\right)\\ax^3+bx^2+c=\left(x^2-1\right)\left(ax+b\right)+ax+b+c\end{matrix}\right.\)

Từ đây ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}8a+4b+c=0\\a=2\\b+c=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-7\\c=12\end{matrix}\right.\)

Vì ax³ + bx² + c chia hết cho x - 2 => ax³ + bx² + c = P(x).(x - 2) ⁽¹⁾

Vì ax³ + bx² + c chia cho x² - 1 thì dư 2x + 5 => ax³ + bx² + c = Q(x).(x² - 1) + 2x + 5 = Q(x).(x - 1).(x + 1) + 2x + 5 ⁽²⁾

+) Với x = 2 thì từ ⁽¹⁾ ta có: 8a + 4b + c = 0

+) Với x = 1 thì từ ⁽²⁾ ta có a + b + c = 7

+) Với x = -1 thì từ ⁽²⁾ ta có -a + b - c = 1

Như vậy ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}8a+4b+c=0\\a+b+c=7\\-a+b-c=1\end{matrix}\right.\)

Tự giải nốt

\(x^{20}+x^{11}-x^{2004}=\left[\left(x^2\right)^{10}-1\right]+x\left[\left(x^2\right)^5-1\right]-\left[\left(x^2\right)^{1002}-1\right]+x\)

\(=\left(x^2-1\right)A\left(x\right)+x\left(x^2-1\right)B\left(x\right)-\left(x^2-1\right)C\left(x\right)+x\)

Vậy số dư là: x