Bài 6: Ôn tập chương Tổ hợp - Xác suất

Bài 2:

Ta có: \(y=\frac{x-2}{x-1}\Rightarrow y'=\frac{1}{(x-1)^2}\)

Do đó pt tiếp tuyến của đồ thị (C) tại \(M(a, \frac{a-2}{a-1})\) là:

\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{1}{(a-1)^2}(x-a)+\frac{a-2}{a-1}\) (d)

Đường thẳng trên có vecto pháp tuyến \((\frac{1}{(a-1)^2}, -1)\) nên vecto chỉ phương là: \((1, \frac{1}{(a-1)^2})\)

Vecto chỉ phương của đường thẳng \(\overrightarrow{IM}\) là \((a-1,\frac{a-2}{a-1}-1)\)

Vì hai đường thẳng trên vuông góc với nhau nên:

\(\overrightarrow{d}.\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow (1, \frac{1}{(a-1)^2})(a-1, \frac{a-2}{a-1}-1)=0\)

\(\Leftrightarrow a-1+\frac{1}{(a-1)^2}\left(\frac{a-2}{a-1}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a-1-\frac{1}{(a-1)^3}=0\)

\(\Leftrightarrow (a-1)^4=1\Leftrightarrow a=2, a=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} M=(2, 0)\\ M=(0,2)\end{matrix}\right.\)

Bài 1:

Gọi tọa độ điểm \(M(a,a^3-3a+1)\)

Có: \(y=x^3-3x+1\Rightarrow y'=3x^2-3\). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M$ là:

\(y=y'(a)(x-a)+y(a)\)

\(\Leftrightarrow y=(3a^2-3)(x-a)+a^3-3a+1\)

Để qua M kẻ được đúng một tiếp tuyến tới $(C)$ thì phương trình hoành độ giao điểm:

\((3a^2-3)(x-a)+a^3-3a+1=x^3-3x+1(*)\) chỉ có đúng duy nhất một nghiệm.

Ta có:

\((*)\Leftrightarrow (x^3-a^3)-(3x-3a)-(x-a)(3a^2-3)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-a)(x^2+xa+a^2-3a^2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-a)(x^2+xa-2a^2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-a)^2(x+2a)=0\)

Để pt có nghiệm duy nhất thì \(a=-2a\Leftrightarrow a=0\)

\(\Rightarrow M(0,1)\)