Bài tập cuối chương 3

Chọn D

Vì ABCD là hình thang cân 

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{D}=180^o\)

Nên: \(\widehat{D}=180^o-\widehat{A}=180^o-65^o=115^o\)

Mặt khác ta có ABCD là hình thang cân nên: 

\(\widehat{C}=\widehat{D}=115^o\)

Vậy chọn đáp án A

Ta có:

A. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật → Đúng 

B. Hình bình hành có một góc vông là hình chữ nhật → Đúng

C. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật. → Sai

D. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành → Đúng 

Vậy chọn đáp án C

Áp dụng định lý Py-ta-go vào \(\Delta ABC\) ta có:
\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\left(cm\right)\)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC nên bằng nửa cạnh huyền BC

\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot17=8,5\left(cm\right)\)

Vậy chọn đáp án A

Gọi giao điểm của hai đường chéo là O

Độ dài cạnh OA là: \(OA=\dfrac{1}{2}\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot10=5\left(cm\right)\)

Ta có \(\Delta AOD\) vuông tại A nên ta có:

\(AD^2=OA^2+OD^2\)

\(\Rightarrow OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\left(cm\right)\)

Mà: \(OD=\dfrac{1}{2}BD\Rightarrow BD=2\cdot OD=2\cdot12=24\left(cm\right)\)

Vậy chọn đáp án A

Ta có:

A. Hình chữ nhật có hai đường chép bằng nhau là hình vuông → Sai 

B. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc là hình vuông → Sai

C. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông → Đúng 

D. Hình chữ nhật có một góc vuông là hình vuông → Sai

Vậy chọn đáp án C

Ta có tổng 4 góc trong tứ giác là: \(360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\)

Hay: \(60^o+110^o+\widehat{C}+70^o=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=360^o-\left(110^o+60^o+70^o\right)120^o\)

Vậy chọn đáp án A

a) Ta có:

\(AE = EF = FC\) nên \(AE = EF = FC = \frac{1}{3}AC\) (1)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(O\) là trung điểm của \(AC\) hay \(OA = OC = \frac{1}{2}AC\) và \(AC = 2OA = 2OC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE = EF = FC = \frac{2}{3}OA = \frac{2}{3}OC\).

Xét \(\Delta BCD\) có \(CO\) là trung tuyến và \(CF = \frac{2}{3}CO\) (cmt)

Suy ra \(F\) là trọng tâm của \(\Delta BCD\)

Suy ra \(BM\) là đường trung tuyến của \(\Delta BCD\)

Suy ra \(M\) là trung điểm của \(CD\)

Xét \(\Delta ABD\) có \(AO\) là trung tuyến và \(AE = \frac{2}{3}AO\) (cmt)

Suy ra \(E\) là trọng tâm của \(\Delta ABD\)

Suy ra \(DN\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABD\)

Suy ra \(N\) là trung điểm của \(AB\)

b) Do M là trung điểm của CD (câu a) nên \(MC = MD = \frac{1}{2}CD\).

            N là trung điểm của AB (câu a) nên \(NB = NA = \frac{1}{2}AB\).

Mà AB = CD và AB // CD (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra NB = MD và NB // MD.

Xét tứ giác BMDN có NB = MD và NB // MD

Do đó BMDN là hình bình hành.

Suy ra BM // DN và BM = DN.

Ta có E là trọng tâm của DABD nên  \(EN = \frac{1}{3}DN\).

F là trọng tâm của DBCD nên \(FM = \frac{1}{3}BM\).

Mà DN = BM (chứng minh trên) nên EN = FM.

Xét tứ giác EMFN có EN = FM và EN // FM (do BM // DN)

Suy ra EMFN là hình bình hành.

a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\) và \(AB = AC\)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), có \(AH\) là trung tuyến (gt)

Suy ra \(AH\) là đường cao

Suy ra \(AH \bot BC\)

Suy ra \(\widehat {{\rm{AHB}}} = \widehat {{\rm{AHC}}} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) ta có: \(HD\) là trung tuyến

Suy ra \(HD = \frac{1}{2}AB\)

Mà \(DA = DB = \frac{1}{2}AB\) (do \(D\) là trung điểm \(AB\))

Suy ra \(DA = DB = HD\)

Suy ra \(\Delta DHB\) cân tại \(D\)

Suy ra \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{DHB}}}\)

Mà \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\) (cmt)

Suy ra \(\widehat {{\rm{DHB}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\)

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

Suy ra \(DH\) // \(AC\)

Suy ra \(ADHC\) là hình thang

b) Vì \(E\) đối xứng với \(H\) qua \(D\) (gt)

Suy ra \(D\) là trung điểm của \(HE\)

Xét tứ giác \(AHBE\) ta có:

Hai đường chéo \(HE\) và \(AB\) cắt nhau tại trung điểm \(D\)

Suy ra \(AHBE\) là hình bình hành

Mà \(\widehat {{\rm{AHB}}} = 90^\circ \) (cmt)

Suy ra \(AHBE\) là hình chữ nhật

c) Vì \(AHBE\) là hình chữ nhật (cmt)

Suy ra \(AH\) // \(BE\) và \(AH = BE\)

Xét \(\Delta DEN\) và \(\Delta DHM\) ta có:

\(\widehat {{\rm{NED}}} = \widehat {{\rm{DHM}}}\) (do \(BE\) // \(AH\))

\(DE = DH\) (do \(D\) là trung điểm của \(HE\))

\(\widehat {{\rm{EDN}}} = \widehat {{\rm{MDH}}}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta DEN = \Delta DHM\) (g-c-g)

Suy ra \(EN = MH\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(BE = AH\) (cmt)

Suy ra \(BE - EN = AH - MH\)

Suy ra \(NB = AM\)

Mà \(NB\) // \(AM\) (do \(EB\) // \(AH\))

Suy ra \(AMBN\) là hình bình hành

a) \(N\), \(E\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC(gt)\); Suy ra \(NE\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Suy ra \(NE\) // \(AB\)

Suy ra tứ giác \(ANEB\) là hình thang.

Mà \(\widehat {NAB} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))

Do đó tứ giác \(ANEB\) là hình thang vuông.

b) \(M\), \(E\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\) (gt);

Suy ra \(ME\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

Suy ra \(ME\) // \(AC\) hay \(ME\) // \(AN\)

Mà  \(AM\) // \(NE\) (do \(AB\) // \(NE\))

Suy ra tứ giác \(AMEN\) là hình bình hành

Mà \(\widehat {{\rm{MAN}}} = 90^\circ \) nên \(AMEN\) là hình chữ nhật

c) Xét tứ giác \(BMFN\) có: \(MF\) // \(BN\) (gt) và \(BM\) // \(FN\) (do \(AB\) // \(NE\))

Suy ra \(BMFN\) là hình bình hành

Suy ra \(BM = FN\)

Mặt khác \(NE = AM\) (Tứ giác \(ANEM\) là hình chữ nhật) và \(AM = BM\)

Suy ra \(FN = NE\)

Tứ giác \(AFCE\) có \(N\) là trung điểm của \(AC\) và \(EF\)

Suy ra \(AFCE\) là hình bình hành

Mà \(AC \bot EF\)

Do đó \(AFCE\) là hình thoi

d) Xét tứ giác \(ADBE\) ta có: \(DE\) và \(AB\) cắt nhau tại \(M\) (gt)

Mà \(M\) là trung điểm của \(AB\) (gt)

\(M\) là trung điểm của \(DE\) (do \(D\) đối xứng với \(E\) qua \(M\))

Suy ra \(ADBE\) là hình bình hành

Suy ra \(AD\) // \(BE\) hay \(AD\) // \(EC\)

Mà \(AF\) // \(EC\)  (do \(AECF\) là hình thoi)

Suy ra \(A,D,F\) thẳng hàng (1)

Mà \(ADBE\) là hình bình hành

Suy ra \(BE\) // \(AD\)

Mà \(AF = EC\) (do \(AFCE\) là hình thoi); \(EB = EC\) (gt)

Suy ra \(AD = AF\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A\) là trung điểm của \(DF\)