Mặt phẳng (P): 3x – 4y + 5z – 6 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:
A. \(\overrightarrow{n_1}=\left(3;4;5\right)\). B. \(\overrightarrow{n_2}=\left(3;-4;5\right)\).
C. \(\overrightarrow{n_3}=\left(-3;4;5\right)\). D. \(\overrightarrow{n_4}=\left(3;4;-5\right)\).
Đường thẳng \(d:\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-3}{6}=\dfrac{z-1}{9}\) có một vectơ chỉ phương là:
A. \(\overrightarrow{u_1}=\left(2;3;1\right)\). B. \(\overrightarrow{u_2}=\left(6;3;9\right)\).
C. \(\overrightarrow{u_3}=\left(3;9;6\right)\). D. \(\overrightarrow{u_4}=\left(1;2;3\right)\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-3}{6}=\dfrac{z-1}{9}\)
=>Vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left(3;6;9\right)=\left(1;2;3\right)\)
=>Chọn D
(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)
a) Mặt cầu (S): (x – 11)2 + (y – 12)2 + (z – 13)2 = 100 có bán kính là:
A. 10. B. 11. C. 12. D. 13.
b) Tọa độ tâm của mặt cầu (S): (x – 5)2 + (y + 6)2 + (z – 7)2 = 8 là:
A. (5; 6; 7). B. (5; 6; – 7). C. (5; – 6; 7). D. (– 5; 6; 7).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia: \(\left(S\right):\left(x-11\right)^2+\left(y-12\right)^2+\left(z-13\right)^2=100\)
=>\(R=\sqrt{100}=10\)
=>Chọn A
b: \(\left(S\right):\left(x-5\right)^2+\left(y+6\right)^2+\left(z-7\right)^2=8\)
=>tâm là I(5;-6;7)
=>Chọn C
(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)
Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến mặt phẳng x – a – b – c = 0 là:
A. |a + b|. B. |b + c|. C. |c + a|. D. \(\dfrac{\left|b+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a - a - b - c} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = \left| {b + c} \right|\).
Chọn B
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(– 1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; – 2).
a) Tìm toạ độ của hai vectơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.
b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của hai đường thẳng AB và AC.
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).
Một vectơ vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 1}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {3;3;3} \right)\).
b) Đường thẳng AB đi qua điểm A(0; 1; 3) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên:
+ Phương trình tham số của đường thẳng AB: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 1 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) (t là tham số).
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng AB: \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\).
Đường thẳng AC đi qua điểm A(0; 1; 3) và nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên:
+ Phương trình tham số của đường thẳng AC: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) (t là tham số).
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng AC: .
c) Mặt phẳng (ABC) đi qua A(0; 1; 3) và nhận \(\frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) là:
\(x + y - 1 + z - 3 = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0\)
d) Thay tọa độ điểm D(1; 1; -2) vào mặt phẳng (ABC) ta có: \(1 + 1 + \left( { - 2} \right) - 4 = - 4 \ne 0\) nên điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC). Do đó, bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
e) Ta có: \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 1 - 2 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:
a) (P) đi qua điểm M(– 3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left(2;-4;1\right)\);
b) (P) đi qua điểm N(2; – 1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_1}=\left(1;-3;-2\right)\) và \(\overrightarrow{u_2}=\left(-3;4;1\right)\)
c) (P) đi qua điểm I(4; 0; – 7) và song song với mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 3 = 0;
d) (P) đi qua điểm K(– 4; 9; 2) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-6}{5}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Phương trình mặt phẳng (P): \(2\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 1.\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y + z + 6 = 0\).
b) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 2}\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 3}&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {5;5; - 5} \right)\).
(P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và nhận \(\frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P): \(x - 2 + y + 1 - \left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 4 = 0\)
c) Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Vì (P) song song với (Q) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là: \(2\left( {x - 4} \right) + y - \left( {z + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z - 15 = 0\).
d) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow u = \left( {2;1;5} \right)\).
Vì (P) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1;5} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là:
\(2\left( {x + 4} \right) + y - 9 + 5\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 11 = 0\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Viết phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:
a) (S) có tâm I(4; – 2; 1) và bán kính R = 9;
b) (S) có tâm I(3; 2; 0) và đi qua điểm M(2; 4; – 1);
c) (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1; 2; 0) và B(– 1; 0; 4).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) (S) có tâm I(4; -2; 1), bán kính \(R = 9\) có phương trình là \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 81\)
b) (S) có tâm I và bán kính \(IM = \sqrt {{{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 6 \) nên phương trình mặt cầu (S) là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 6\).
c) Gọi I là trung điểm của AB nên \(I\left( {0;1;2} \right)\).
Vì mặt cầu (S) có đường kính là AB nên (S) có tâm \(I\left( {0;1;2} \right)\), bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 6 \)
Do đó, phương trình mặt cầu (S) là: \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\Delta_1:\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y+5}{4}=\dfrac{z-5}{-1}\) và \(\Delta_2:\dfrac{x+13}{5}=\dfrac{y-5}{-2}=\dfrac{z+17}{7}\);
b) \(\Delta_1:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-4}{-7}\) và \(\Delta_2:\dfrac{x+10}{-6}=\dfrac{y+19}{-9}=\dfrac{z-45}{21}\);
c) \(\Delta_1:\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-5}{1}=\dfrac{z-2}{3}\) và \(\Delta_1:\dfrac{x+13}{5}=\dfrac{y-9}{-2}=\dfrac{z+13}{7}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;4; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1; - 5;5} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {5; - 2;7} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 13;5; - 17} \right)\).
Vì \(\frac{3}{5} \ne \frac{4}{{ - 2}}\), suy ra \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.
Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 12;10; - 22} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\{ - 2}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\7&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\5&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {26; - 26; - 26} \right)\)
Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 26.\left( { - 12} \right) - 26.10 - 26.\left( { - 22} \right) = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB} \) đồng phẳng. Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3; - 7} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;4} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6; - 9;21} \right)\) đi qua điểm \(B\left( { - 10; - 19;45} \right)\)
Ta có: \( - 3\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 6; - 9;21} \right) = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.
Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 12; - 18;41} \right)\), \(\frac{{ - 12}}{2} = \frac{{ - 18}}{3} \ne \frac{{41}}{{ - 7}}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} \) không cùng phương. Vậy \({\Delta _1}\) //\({\Delta _2}\).
c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1;3} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 3;5;2} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {5; - 2;7} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 13;9; - 13} \right)\).
Ta có: \(\frac{1}{5} \ne \frac{1}{{ - 2}}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.
Lại có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 10;4; - 15} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 2}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\7&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\5&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {13;8; - 7} \right)\)
Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 13.\left( { - 10} \right) + 8.4 - 7.\left( { - 15} \right) = 7 \ne 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB} \) không đồng phẳng. Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tính góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 biết \(\Delta_1:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t_1\\y=2-\sqrt{2}t_1\\z=3+t_1\end{matrix}\right.\) và \(\Delta_2:\left\{{}\begin{matrix}x=-3+t_2\\y=1+t_2\\z=5-\sqrt{2}t_2\end{matrix}\right.\) (t1, t2 là tham số) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiĐường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1; - \sqrt 2 } \right)\).
Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 - \sqrt 2 .1 - \sqrt 2 .1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{4}\) nên \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx {63^o}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \(\Delta:\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=4-3t\\z=-1+4t\end{matrix}\right.\) (t là tham số) và (P): x + y + z + 3 = 0.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiĐường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;4} \right)\).
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có: \(\sin \left( {\left( P \right),\Delta } \right) = \frac{{\left| {2.1 - 3.1 + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {87} }}\) nên \(\left( {\left( P \right),\Delta } \right) \approx {19^o}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)