Bài tập cuối chương 1

Hướng dẫn giải

Chọn A

Từ hình vẽ ta thấy trong khoảng (5; \( + \infty \)) thì đồ thị đi lên

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chọn B

Từ hình vẽ ta thấy, qua điểm x = 3 thì hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chọn B

\(y' = \frac{{{x^2} - 8x + 15}}{{{{(x - 4)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 5\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt cực đại tại x = 3 và \({y_{cd}} = 2\), đạt cực tiểu tại x = 5 và \({y_{ct}} = 6\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chọn A

Từ hình vẽ ta thấy, trên khoảng (–1; 3) thì đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số nghịch biến

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chọn C

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(y' = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }} = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, \(\mathop {\min }\limits_D y = y( - 1) = \sqrt 2 \)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chọn A

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 1;1\} \)

Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  = \frac{{2{x^3} + 3{x^2} - 3}}{{{x^3} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^3} + 3{x^2} - 3}}{{{x^3} - x}} = 2\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{2{x^3} + 3{x^2} - 3}}{{{x^2} - 1}} - 2x) = 3\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } [y - (ax + b)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } [\frac{{2{x^3} + 3{x^2} - 3}}{{{x^2} - 1}} - (2x + 3)] = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x + 3

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chọn B

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - \frac{1}{5}\} \)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{5}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{5}}^ - }} \frac{{ - 2x + 3}}{{5x + 1}} =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{5}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{5}}^ + }} \frac{{ - 2x + 3}}{{5x + 1}} =  + \infty \)

Vậy đường thẳng x = \( - \frac{1}{5}\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 4\} \)

\(y' = \frac{{ - 11}}{{{{(4 - x)}^2}}} < 0\forall x \in D\) nên hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (\( - \infty \); 4) và (4; \( + \infty \)).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: a, b > 0 và a + b = 10

a) Đặt: \(f(a) = ab = a(10 - a) =  - {a^2} + 10a\)

\(f'(a) =  - 2a + 10 = 0 \Leftrightarrow a = 5\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, \(\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} f(a) = f(5) = 25\)

Vậy để biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất là 25 thì a = 5 và b = 5

b) Đặt: \(f(a) = {a^2} + {b^2} = {a^2} + {(10 - a)^2} = 2{a^2} - 20a + 100\)

\(f'(a) = 4a - 20 = 0 \Leftrightarrow a = 5\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} f(a) = f(5) = 50\)

Vậy để biểu thức \({a^2} + {b^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là 50 thì a = 5 và b = 5

c) Đặt: \(f(a) = a{b^2} = a{(10 - a)^2} = {a^3} - 20{a^2} + 100a\)

\(f'(a) = 3{a^2} - 40a + 100 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{10}}{3}\\a = 10\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, \(\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} f(a) = f(\frac{{10}}{3}) = \frac{{4000}}{{27}}\)

Vậy để biểu thức \(a{b^2}\) đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{{4000}}{{27}}\) thì a = \(\frac{{10}}{3}\) và b = \(\frac{{20}}{3}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Hàm số có dạng: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a < 0)\)

Đồ thị hàm số giao với Oy tại điểm (0; 5) nên: \(y(0) = a{.0^3} + b{.0^2} + c.0 + d = 5 \Leftrightarrow d = 5\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm (3; 5) nên: \(y = a{.3^3} + b{.3^2} + c.3 + 5 = 5 \Leftrightarrow 27a + 9b + 3c = 0\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 1) nên: \(y(1) = a{.1^3} + b{.1^2} + c.1 + 5 = 1 \Leftrightarrow a + b + c =  - 4\)

Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (3; 5) nên: \(y'(3) = 3a{x^2} + 2bx + c = 3.a{.3^2} + 2.b.3 + c = 0\)\( \Leftrightarrow 27a + 6b + c = 0\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}27a + 9b + 3c = 0\\a + b + c =  - 4\\27a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 6\\c =  - 9\end{array} \right.\)

Vậy hàm số là \(y =  - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 5\)

(Trả lời bởi datcoder)