Phân tích đa thức \(P\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)x\) thành nhân tử.
Bài 4. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
Hoạt động 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 27)
Thảo luận (1)
Hoạt động 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 27)
Giải phương trình \(P\left( x \right) = 0.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = 0\\\left( {x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\\TH1:x + 1 = 0\\x = - 1\\TH2:3x - 1 = 0\\x = \frac{1}{3}\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ { - 1;\frac{1}{3}} \right\}\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Luyện tập 1 (SGK Cánh Diều trang 28)
Giải các phương trình sau:
a) \(\left( {3x + 1} \right)\left( {2 - 4x} \right) = 0;\)
b) \({x^2} - 3x = 2x - 6.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\left( {3x + 1} \right)\left( {2 - 4x} \right) = 0;\)
\(\begin{array}{l}TH1:3x + 1 = 0\\x = \frac{{ - 1}}{3}\\TH2:2 - 4x = 0\\x = \frac{1}{2}\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ { - \frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right\}\)
b) \({x^2} - 3x = 2x - 6.\)
\(\begin{array}{l}{x^2} - 3x = 2x + 6\\x\left( {x - 3} \right) = 2\left( {x + 3} \right)\\x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) = 0\\\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\\TH1:x - 2 = 0\\x = 2\\TH2:x - 3 = 0\\x = 3\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ {2;3} \right\}\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Vận dụng (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 28)
Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Tình huống mở đầu: Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 15m người ta làm một lối đi xung quanh vườn có bề rộng là x (m) (H.2.1). Để diện tích phần đất còn lại là \(169{m^2}\) thì bề rộng x của lối đi là bao nhiêu?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiDo lối đi có bề rộng là x nên cạnh của khu vườn hình vuông ban đầu giảm đi \(2x\left( m \right).\)
Nên phần đất còn lại là hình vuông có cạnh \(15 - 2x\left( m \right)\)
Diện tích phần đất còn lại là \(169{m^2}\) nên ta có phương trình \({\left( {15 - 2x} \right)^2} = 169\)
\(\begin{array}{l}{\left( {15 - 2x} \right)^2} = {13^2}\\TH1:15 - 2x = 13\\2x = 2\\x = 1\end{array}\)
\(TH2:15 - 2x = - 13\) (vô lý vì cạnh của mảnh đất >0)
Vậy \(x = 1\)
Vậy bề rộng của lối đi là 1m.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Hoạt động 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 28)
Xét phương trình \(x + \frac{1}{{x + 1}} = - 1 + \frac{1}{{x + 1}}.\)
Chuyển các biểu thức chứa ẩn từ vế phải sang vế trái, rồi thu gọn vế trái.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có \(x + \frac{1}{{x + 1}} = - 1 + \frac{1}{{x + 1}}\) hay \(x + \frac{1}{{x + 1}} + 1 - \frac{1}{{x + 1}} = 0\) suy ra \(x + 1 = 0\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Hoạt động 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 28)
Xét phương trình \(x + \frac{1}{{x + 1}} = - 1 + \frac{1}{{x + 1}}.\)
Giá trị \(x = - 1\) có là nghiệm của phương trình đã cho hay không? Vì sao?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiThay \(x = - 1\) vào phương trình đã cho ta có \(\left( { - 1} \right) + \frac{1}{{ - 1 + 1}} = - 1 + \frac{1}{{ - 1 + 1}}\), ta có kết quả đã cho chưa đúng vì khi thay \(x = - 1\) làm cho mẫu của phân số bằng 0.
Vậy \(x = - 1\) không là nghiệm của phương trình.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Luyện tập 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 28)
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a) \(\frac{{3x + 1}}{{2x - 1}} = 1;\)
b) \(\frac{x}{{x - 1}} + \frac{{x + 1}}{x} = 2.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\frac{{3x + 1}}{{2x - 1}} = 1;\)
Vì \(2x - 1 \ne 0\) khi \(x \ne \frac{1}{2}.\) Vậy ĐKXĐ của phương trình đã cho là \(x \ne \frac{1}{2}.\)
b) \(\frac{x}{{x - 1}} + \frac{{x + 1}}{x} = 2.\)
Vì \(x - 1 \ne 0\) khi \(x \ne 1\) và \(x \ne 0\). Vậy ĐKXĐ của phương trình đã cho là \(x \ne 1\) và \(x \ne 0\).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Hoạt động 5 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 29)
Xét phương trình \(\frac{{x + 3}}{x} = \frac{{x + 9}}{{x - 3}}.\left( 2 \right)\)
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình (2):
a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (2);
b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (2), rồi khử mẫu;
c) Giải phương trình vừa tìm được;
d) Kết luận nghiệm của phương trình (2).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) ĐKXĐ \(x \ne 0\) và \(x \ne 3.\)
b) Quy đồng mẫu ta được \(\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {x + 9} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\) và khử mẫu ta có: \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = x\left( {x + 9} \right)\)
c) \({x^2} - 9 = {x^2} + 9x\)
\(\begin{array}{l}{x^2} - {x^2} - 9x = 9\\ - 9x = 9\\x = - 1\end{array}\)
Giá trị \(x = - 1\left( {t/m} \right)\). Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - 1.\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Luyện tập 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 29)
Giải phương trình \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{4x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{x}{{{x^2} + x + 1}}.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiĐKXĐ: \(x \ne 1.\)
Quy đồng mẫu thức, ta được
\(\frac{{1.\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
Khử mẫu ta được \({x^2} + x + 1 - 4x = x\left( {x - 1} \right)\)
\(\begin{array}{l}{x^2} + x + 1 - 4x = {x^2} - x\\{x^2} - 3x - {x^2} + x = - 1\\ - 2x = - 1\end{array}\)
\(x = \frac{1}{2}\left( {t/m} \right).\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{2}.\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Bài 2.1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống trang 30)
Giải các phương trình sau:
a) \(x\left( {x - 2} \right) = 0;\)
b) \(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = 0.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(x\left( {x - 2} \right) = 0;\)
\(\begin{array}{l}TH1:x = 0\\TH2:x - 2 = 0\\x = 2\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ {0;2} \right\}.\)
b) \(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = 0.\)
\(\begin{array}{l}TH1:2x + 1 = 0\\x = \frac{{ - 1}}{2}\\TH2:3x - 2 = 0\\x = \frac{2}{3}\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ {\frac{{ - 1}}{2};\frac{2}{3}} \right\}.\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)