Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Hướng dẫn giải

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm (2;0) giao với trục hoành tại (-1;0)

=> Chọn D

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

TCĐ x = -1

TCN y = -1

=> Chọn B

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Vì đồ thị hàm số đi qua (0:2)

=> Loại B,D

Vì hàm số có tcd là x=-1

=>\(\mathop {\lim }\limits_{\;x \to  - 1} f\left( x \right) = \infty \)

Xét a,  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{ - x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{ - x - 1} ( - x - 1 - \frac{1}{{x + 1}}) =  - \infty \)

=> Chọn A

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a,

\(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\)

Tập xác định: D = R

\(y' = 6{x^2}\) - 6x; y' = 0 \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 0}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên

 

Đồ thị hàm số 

b,

\(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1\)

Tập xác định: D = R

\(y' =  - 3{x^2} + 6x\); y' = 0 \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số

c,

\(y = {\left( {x - 2} \right)^3} + 4\)

Tập xác định: D = R

\(y' = 3{\left( {x - 2} \right)^2} \), y’=0 \( =  > {\left( {x\;-\;2} \right)^2} = 0 =  > x - 2 = 0 =  > x = 2\)

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số

d,

\(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 2\)

Tập xác định: D = R

\(y' =  - 3{x^2} + 6x - 3,\;y' = 0 =  > x = 1\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số

e,\(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 2x + 1 =  > y' = {x^2} + 2x + 2 > 0, \forall x \in D\)

Tập xác định: D = R

Đồ thị hàm số

g,\(y =  - {x^3} - 3x =  > y' =  - 3{x^2} - 3 < 0, \forall x \in D\)

Tập xác định: D = R

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 0}\end{array}} \right.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)

1) TXĐ: \(x \in \mathbb{R}\left\{ { - 1} \right\}\)

2) Sự biến thiên

\(y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\;\) với mọi \(x \ne  - 1\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

Hàm số không có cực trị

3) Đồ thị

Giao điểm đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - 1} \right)\)

Giao điểm đồ thị với trục hoành: \(\left( {1;0} \right)\)

Đồ thị đi qua các điểm: \(\left( {0; - 1} \right)\), \(\left( {1;0} \right)\)

b) \(y = \frac{{ - 2x}}{{x + 1}}\)

1) TXĐ: \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

2) Sự biến thiên

 với mọi \(x \ne  - 1\)

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( { - 1,\infty } \right)\)

3) Đồ thị

Giao điểm đồ thị với trục tung: \(\left( {0;0} \right)\)

Giao điểm đồ thị với trục hoành: \(\left( {0;0} \right)\)

c) \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\)

1) TXĐ: \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

2) Sự biến thiên

Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\)\( = x - 2 + \frac{4}{{x - 1}}\)

\(y' = 1 - \frac{4}{{{{(x - 1)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Xét \(y' = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty , - 1} \right),\left( {3, + \infty } \right)\). Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1,1} \right),\left( {1,3} \right)\)

3) Đồ thị

Giao điểm đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - 6} \right)\)

d) \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\)

Hàm số trên xác định trên R\{2}

Ta có \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\)\( =  - x - \frac{4}{{x - 2}}\)

          \(y' =  - 1 + \frac{4}{{{{(x - 2)}^2}}}\)\( = \frac{{ - {x^2} + 4x}}{{{{(x - 2)}^2}}}\)

Xét \(y' = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\)

Từ đó ta có bảng biến thiên là

Từ bảng biến thiên ta thấy

Hàm số đồng biến \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\)trên các khoảng \((0;2)\) và \((2;4)\)

Hàm số nghịch biến \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}}\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((4; + \infty )\)

Ta có đồ thị hàm số là

e) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 2}}\)

Hàm số xác định trên R\{-2}

Ta có \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 2}}\) \( = 2x - \frac{{x + 5}}{{x + 2}}\)

           \(y' = 2 + \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\)

Vì \(y' > 0\)với \(x \in R/\left\{ { - 2} \right\}\)

Nên hàm số luôn đồng biến với \(x \in R/\left\{ { - 2} \right\}\)

Ta có đồ thị hàm số là

g) \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{ - x + 2}}\)

Hàm số xác định trên R/{2}

Ta có : \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{ - x + 2}}\) \( =  - x + \frac{3}{{x - 2}}\)

           \(y' =  - 1 - \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}}\)

Vì \(y' < 0\)với \(x \in R/\left\{ 2 \right\}\)

Nên hàm số luôn nghịch biến với \(x \in R/\left\{ 2 \right\}\)

Ta có đồ thị hàm số là 

(Trả lời bởi datcoder)