Bài 4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Hướng dẫn giải

Cạnh thửa ruộng bé hình vuông là: \(\sqrt {1800}  = 30\sqrt 2 \)m.

Chu vi thửa ruộng bé là: \(30\sqrt 2 .4 = 120\sqrt 2 \)m

Cạnh thửa ruộng lớn hình vuông là: \(\sqrt {3200}  = 40\sqrt 2 \) m

Cạnh của tam giác vuông là: \(\sqrt {{{(30\sqrt 2 )}^2} + {{(40\sqrt 2 )}^2}}  = 50\sqrt 2 \) m

Chu vi tam giác vuông là: \(30\sqrt 2  + 40\sqrt 2  + 50\sqrt 2  = 120\sqrt 2 \) m.

Vậy khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{2}{3}\sqrt {9{x^3}}  + 4x\sqrt {\frac{x}{4}}  - {x^2}\sqrt {\frac{1}{x}} \)

\(\begin{array}{l} = \frac{2}{3}.3\sqrt {{x^2}.x}  + 4x.\frac{1}{2}\sqrt x  - \sqrt {{x^4}\frac{1}{x}} \\ = 2x\sqrt x  + 2x\sqrt x  - \sqrt {{x^3}} \\ = 4x\sqrt x  - x\sqrt x \\ = 3x\sqrt x \end{array}\)

b) \(\frac{{{a^2} - 5}}{{a + \sqrt 5 }}\) với a \( \ne  - \sqrt 5 \)

\(\frac{{{a^2} - 5}}{{a + \sqrt 5 }} = \frac{{\left( {a + \sqrt 5 } \right)\left( {a - \sqrt 5 } \right)}}{{a + \sqrt 5 }} = a - \sqrt 5 \)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(2\sqrt 3  - \sqrt {27}  \) \( = 2\sqrt 3  - \sqrt {9.3}  \) \( = 2\sqrt 3  - 3\sqrt 3  \) \( =  - \sqrt 3 \)

b) \(\sqrt {45}  - \sqrt {20}  + \sqrt 5  \) \( = \sqrt {5.9}  - \sqrt {4.5}  + \sqrt 5  \) \( = 3\sqrt 5  - 2\sqrt 5  + \sqrt 5  \) \( = 2\sqrt 5 \)

c) \(\sqrt {64a}  - \sqrt {18}  - a\sqrt {\frac{9}{a}}  + \sqrt {50} \) với a > 0

\(\begin{array}{l} = 8\sqrt a  - \sqrt {2.9}  - 3\sqrt {\frac{{{a^2}}}{a}}  + \sqrt {25.2} \\ = 8\sqrt a  - 3\sqrt 2  - 3\sqrt a + 5\sqrt 2 \\ = 5\sqrt a  + 2\sqrt 2\end{array}\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{{2\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 5 .\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{2} = \sqrt {10} \)

b) \(\frac{{10}}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{10.\sqrt 5 }}{{3\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{10\sqrt 5 }}{{15}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\)

c) \( - \frac{3\sqrt a }{\sqrt {12a}}\) \( = - \frac{3\sqrt a .\sqrt {12a}}{\sqrt {12a} .\sqrt {12a}} \) \(= - \frac{3\sqrt {2^2.3.a^2}}{12a} \) \(= -\frac{6a\sqrt {3}}{12a} \) \(= -\frac{\sqrt {3}}{2} \) với a > 0

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{4}{{\sqrt {13}  - 3}}\)\( = \frac{{4.\left( {\sqrt {13}  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt {13}  - 3} \right)\left( {\sqrt {13}  + 3} \right)}}\)\( = \frac{{4.\left( {\sqrt {13}  + 3} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {13} } \right)}^2} - {3^2}}}\)\( = \frac{{4.\left( {\sqrt {13}  + 3} \right)}}{{13 - 9}}\)\( = {\sqrt {13}  + 3}\)

b) \(\frac{{10}}{{5 + 2\sqrt 5 }}\)\( = \frac{{10.\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)}}{{\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)}}\)\( = \frac{{10.\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)}}{{{5^2} - {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}}\)\( = \frac{{10.\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)}}{5}\)\( = 2\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)\)

c) \(\frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\)\( = \frac{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}\)\( = \frac{{{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}}}{{a - b}}\) với a > 0; b > 0, \(a \ne b\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\left( {\sqrt {\frac{4}{3}}  + \sqrt 3 } \right)\sqrt 6  = \sqrt {\frac{4}{3}} .\sqrt 6  + \sqrt 3 .\sqrt 6  \) \(= \sqrt {\frac{{24}}{3}}  + \sqrt {18} \)\(=\sqrt 8  + \sqrt {18}  \)\(= \sqrt {2.4}  + \sqrt {2.9}  \)\(= 2\sqrt 2  + 3\sqrt 2  \)\(= 5\sqrt 2 \)

b) \(\sqrt {18} :\sqrt 6  + \sqrt 8 .\sqrt {\frac{{27}}{2}} \)\( = \sqrt {\frac{{18}}{6}}  + \sqrt {8.\frac{{27}}{2}} \)\( = \sqrt 3  + \sqrt {108} \)\( = \sqrt 3  + \sqrt {36.3} \)\( = \sqrt 3  + 6\sqrt 3 \)\( = 7\sqrt 3 \)

c) \({\left( {1 - 2\sqrt 5 } \right)^2} = 1 - 4\sqrt 5  + 20 = 21 - 4\sqrt 5 \)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có:

AB = \(\sqrt{1+2^2} = \sqrt 5\)cm;

BC = \(\sqrt{2^2+4^2} = 2\sqrt 5\)cm;

AC = \(\sqrt{3^2+4^2} = 5\)cm

Chu vi tam giác ABC là: \(\sqrt 5 + 2\sqrt 5 + 5 = 5 + 3 \sqrt5 \)cm

Diện tích tam giác ABC là: \(\frac{1}{2}AB.BC\)= \(\frac{1}{2}.\sqrt 5.2\sqrt 5 = 5\)cm²

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Độ dài cạnh hình vuông X là: \(x = \sqrt {32}  = 4\sqrt 2 \)m

Độ dài cạnh hình vuông Y là: \(y = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2 \)m

Ta có cạnh hình vuông Z là: \(z = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 \)m

Quan sát hình vẽ ta thấy: AK = BC + DE + FG hay x = BC + DE + FG

Chu vi của vườn hoa là:

\(AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IK + KA \)

\(= (AB + IK + AK) + (BC + DE + FG) + (CD + HI) + (EF + GH)\)

\(= 3x +  x + 2y + 2z\)

\( = 4x + 2y + 2z\)

\( = 4.4\sqrt 2 + 2.3\sqrt 2 + 2.2\sqrt 2 = 26\sqrt 2 (m)\)

Vậy chu vi của vườn hoa đó là: \(26\sqrt 2 \)m.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{{a\sqrt b  - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = a - b\) với a > 0; b > 0

Xét vế trái, ta có:

\(\begin{array}{l}VT = \frac{{a\sqrt b  - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\\ = \frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}.\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\\ = \left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\\ = a - b = VP\end{array}\)

Vậy \(\frac{{a\sqrt b  - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = a - b\)

b) \(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}} \right) = 1 - a\) với a \( \ge \) 0 và a \( \ne \)1

Xét vế trái ta có:

\(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}} \right) = \left( {1 + \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}{{\sqrt a  - 1}}} \right)\)

\( = \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right) = 1 - {\left( {\sqrt a } \right)^2} = 1 - a\) =  VP.

Vậy  \(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}} \right) = 1 - a\) 

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt {\frac{4}{7}}  = \sqrt {\frac{{4.7}}{{7.7}}}  = \frac{{\sqrt {28} }}{7} = \frac{{\sqrt {2^2.7} }}{7} = \frac{{2\sqrt {7} }}{7}\)

b) \(\sqrt {\frac{5}{{24}}}  = \sqrt {\frac{{5.24}}{{24.24}}}  = \frac{{\sqrt {120} }}{{24}} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{24}} = \frac{{\sqrt {30} }}{{12}}\)

c) \(\sqrt {\frac{2}{{3{a^3}}}} = \sqrt {\frac{2}{a^2.3a}} = \sqrt {\frac{1}{a^2}.\frac{2}{3a}} = \left|{\frac{1}{a}}\right| .\sqrt {\frac{2}{3a}}\)

Với a > 0, ta có:
\(\sqrt {\frac{2}{{3{a^3}}}} = {\frac{1}{a}}.\sqrt {\frac{2}{3a}} = {\frac{1}{a}}.\sqrt {\frac{2.3a}{3a.3a}}= \frac{1}{a}.\sqrt {\frac{6a}{9a^2}}\\= {\frac{1}{a}}. \frac{\sqrt{6a}}{3a} = \frac{\sqrt{6a}}{3a^2}\)

d) \(2ab\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{2b}}}  = 2ab\sqrt {\frac{{{a^2}.2b}}{{2b.2b}}}  = 2ab\frac{{\sqrt {2b} \left| a \right|}}{{2\left| b \right|}} =  - {a^2}\sqrt {2b} \) với a < 0, b > 0

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)