Tính \(\int\limits^3_1\left|x-2\right|dx.\)
Tính \(\int\limits^3_1\left|x-2\right|dx.\)
Tính:
a) \(\int\limits^2_1\dfrac{1}{x^3}dx\);
b) \(\int\limits^3_1x^{\dfrac{2}{3}}dx\);
c) \(\int\limits^8_1\sqrt[3]{x}dx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {{x^{ - 3}}dx} = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right.\)
\(= \frac{{ - 1}}{{2{x^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = \frac{{ - 1}}{{{{2.2}^2}}} - \frac{{ - 1}}{{{{2.1}^2}}} = \frac{3}{8}\).
b) \(\int\limits_1^3 {{x^{\frac{2}{3}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_1}\end{array}} \right. = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_1}\end{array}} \right. = \frac{3}{5}x\sqrt[3]{{{x^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_1}\end{array}} \right. \)
\(= \frac{3}{5}.3.\sqrt[3]{{{3^2}}} - \frac{3}{5}.1.\sqrt[3]{{{1^2}}} = \frac{{9\sqrt[3]{9} - 3}}{5}\).
c) \(\int\limits_1^8 {\sqrt[3]{x}dx} = \int\limits_1^8 {{x^{\frac{1}{3}}}dx} = \frac{3}{4}{x^{\frac{4}{3}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^8}\\{_1}\end{array}} \right. = \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^8}\\{_1}\end{array}} \right.\)
\(= \frac{3}{4}.8.\sqrt[3]{8} - \frac{3}{4}.1.\sqrt[3]{1} = \frac{{45}}{4}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tính \(\int\limits^e_1\dfrac{7}{3x}dx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\int\limits_1^e {\frac{7}{{3x}}dx} = \frac{7}{3}\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^e}\\{_1}\end{array}} \right. = \frac{7}{3}\left( {\ln \left| e \right| - \ln \left| 1 \right|} \right) = \frac{7}{3}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tính:
a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\left(3\sin x-2\cos x\right)dx;\)
b) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\left(\dfrac{2}{\sin^2x}-\dfrac{3}{\cos^2x}\right)dx.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(3\sin x - 2\cos x)dx} = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin xdx} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos xdx} \)
\( = - 3\cos x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\frac{\pi }{4}}}\\{_0}\end{array}} \right. - 2\sin x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\frac{\pi }{4}}}\\{_0}\end{array}} \right. = - 3\left( {\cos \frac{\pi }{4} - \cos 0} \right) - 2\left( {\sin \frac{\pi }{4} - \sin 0} \right)\)
\( = - 3\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - 1} \right) - 2\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - 0} \right) = 3 - \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
b) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{2}{{\sin x}} - \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = 2\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{\sin x}}dx} - 3\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)
\( = - 2\cot x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\frac{\pi }{3}}}\\{_{\frac{\pi }{6}}}\end{array}} \right. - 3\tan x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\frac{\pi }{3}}}\\{_{\frac{\pi }{6}}}\end{array}} \right. = - 2\left( {\cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{6}} \right) - 3\left( {\tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{6}} \right)\)
\( = - 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3 } \right) - 3\left( {\sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tính:
a) \(\int\limits^1_03^xdx;\)
b) \(\int\limits^1_0\left(2.3^x-5e^x\right)dx.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int\limits_0^1 {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{{{3^1}}}{{\ln 3}} - \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} = \frac{2}{{\ln 3}}\)
b) \(\int\limits_0^1 {({{2.3}^x} - 5{e^x})dx} = \int\limits_0^1 {{{2.3}^x}dx} - \int\limits_0^1 {5{e^x}dx} \)
\( = 2\int\limits_0^1 {{3^x}dx} - 5\int\limits_0^1 {{e^x}dx} = \frac{{{{2.3}^x}}}{{\ln 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. - 5{e^x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right.\)
\( = \left( {\frac{{{{2.3}^1}}}{{\ln 3}} - \frac{{{{2.3}^0}}}{{\ln 3}}} \right) - \left( {5{e^1} - 5{e^0}} \right) = \frac{4}{{\ln 3}} - 5e + 5\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tích phân \(\int\limits^3_2\dfrac{1}{x^2}dx\) có giá trị bằng:
A. \(\dfrac{1}{6}\). B. \(-\dfrac{1}{6}\). C. \(\dfrac{19}{648}\). D. \(-\dfrac{19}{648}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^2}}}} dx = \left. { - \frac{1}{x}} \right|_2^3 = - \frac{1}{3} - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{6}\)
Chọn A
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tích phân \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{5}}_{\dfrac{\pi}{7}}\sin xdx\) có giá trị bằng:
A. \(\sin\dfrac{\pi}{5}-\sin\dfrac{\pi}{7}.\). B. \(\sin\dfrac{\pi}{7}-\sin\dfrac{\pi}{5}.\).
C. \(\cos\dfrac{\pi}{5}-\cos\dfrac{\pi}{7}.\). D. \(\cos\dfrac{\pi}{7}-\cos\dfrac{\pi}{5}.\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\int\limits_{\frac{\pi }{7}}^{\frac{\pi }{5}} {\sin xdx} = \left. { - \cos x} \right|_{\frac{\pi }{7}}^{\frac{\pi }{5}} = \cos \frac{\pi }{7} - \cos \frac{\pi }{5}\)
Chọn D
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tích phân \(\int\limits^1_0\dfrac{3^x}{2}dx\) có giá trị bằng:
A. \(-\dfrac{1}{\ln3}.\) B. \(\dfrac{1}{\ln3}.\) C. \(-1.\) D. \(1.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{3^x}}}{2}dx} = \left. {\frac{{{3^x}}}{{2\ln 3}}} \right|_0^1 = \frac{3}{{2\ln 3}} - \frac{{\mathop{\rm l}\nolimits} }{{2\ln 3}} = \frac{1}{{\ln 3}}\)
Chọn B
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Cho \(\int\limits^3_{-2}f\left(x\right)dx=-10\), F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [-2; 3], F(3) = -8. Tính F(-2).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\int\limits_{ - 2}^3 {f(x)dx} = \left. {F(x)} \right|_{ - 2}^3 = F(3) - F( - 2) = - 10 \Leftrightarrow F( - 2) = 2\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Cho \(\int\limits^4_0f\left(x\right)dx=4,\int\limits^4_3f\left(x\right)dx=6.\) Tính \(\int\limits^3_0f\left(x\right)dx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\int\limits_0^4 {f(x)dx} = \int\limits_0^3 {f(x)dx} + \int\limits_3^4 {f(x)dx} \Leftrightarrow 4 = \int\limits_0^3 {f(x)dx} + 6 \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f(x)dx} = - 2\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)