Bài 3: Tích phân

Tính:

a) \(\int\limits^1_0\left(x^6-4x^3+3x^2\right)dx;\)                b) \(\int\limits^2_1\dfrac{1}{x^4}dx\);                  c) \(\int\limits^4_1\dfrac{1}{x\sqrt{x}}dx\);

d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(4\sin x+3\cos x\right)dx\);              e) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{4}}\cot^2xdx\);             g) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\tan^2xdx\);

h) \(\int\limits^0_{-1}e^{-x}dx\);                                     i) \(\int\limits^{-1}_{-2}e^{x+2}dx\);                  k) \(\int\limits^1_0\left(3.4^x-5e^{-x}\right)dx\).

a) Cho một vật chuyển động với vận tốc y = v(t) (m/s). Cho 0 < a < b và v(t) > 0 với mọi t ∈ [a; b]. Hãy giải thích vì sao \(\int\limits^b_av\left(t\right)dt\) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b (a, b tính theo giây).

b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2 – sin t (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (giây) đến thời điểm \(\dfrac{3\pi}{4}\) (giây).

Ở nhiệt độ 37 °C, một phản ứng hoá học từ chất đầu A, chuyển hoá thành chất sản phẩm B theo phương trình: A → B. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol L^­-1) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với x ≥ 0, thoả mãn hệ thức y'(x) = – 7 ∙ 10^-4y(x) với x ≥ 0. Biết rằng tại x = 0, nồng độ ban đầu của chất A là 0,05 mol L^{– 1}.

a) Xét hàm số f(x) = ln y(x) với x ≥ 0. Hãy tính f'(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol L^-1) từ thời điểm a (giây) đến thời điểm b (giây) với 0 < a < b theo công thức \(\dfrac{1}{b-a}\int\limits^b_ay\left(x\right)dx\). Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.