Bài 3: Tích phân

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình parabol f(x) là \(y = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}\) và phương trình parabol g(x) là \(y = {a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}\).

Quan sát Hình 3, thấy đồ thị f(x) đi qua các điểm có tọa độ (0;2), (4;0), (-4;0) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 = {a_1}{.0^2} + {b_1}.0 + {c_1}\\0 = {a_1}{.4^2} + {b_1}.4 + {c_1}\\y = {a_1}{( - 4)^2} + {b_1}( - 4) + {c_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = - \frac{1}{8}\\{b_1} = 0\\{c_1} = 2\end{array} \right. \Rightarrow y = - \frac{1}{8}{x^2} + 2\).

Quan sát Hình 3, thấy đồ thị g(x) đi qua các điểm có tọa độ (0;-3), (4;0), (-4;0) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 3 = {a_2}{.0^2} + {b_2}.0 + {c_2}\\0 = {a_2}{.4^2} + {b_2}.4 + {c_2}\\0 = {a_2}{( - 4)^2} + {b_2}( - 4) + {c_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_2} = \frac{3}{{16}}\\{b_2} = 0\\{c_2} = - 3\end{array} \right. \Rightarrow y = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\).

Ta có \(f(x) - g(x) = - \frac{1}{8}{x^2} + 2 - \left( {\frac{3}{{16}}{x^2} - 3} \right) = - \frac{5}{{16}}{x^2} + 5\).

Diện tích logo là:

\(S = \int\limits_{ - 5}^4 {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} = \int\limits_{ - 5}^{ - 4} {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} + \int\limits_{ - 4}^4 {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \)

\( = \int\limits_{ - 5}^{ - 4} {\left( {g(x) - f(x)} \right)dx} + \int\limits_{ - 4}^4 {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx} \)

\( = \int\limits_{ - 5}^{ - 4} {\left( {\frac{5}{{16}}{x^2} - 5} \right)dx} + \int\limits_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{5}{{16}}{x^2} + 5} \right)dx} \)

\( = \left( {\frac{5}{{48}}{x^3} - 5x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{ - 4}}\\{_{ - 5}}\end{array}} \right. + \left( { - \frac{5}{{48}}{x^3} + 5x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^4}\\{_{ - 4}}\end{array}} \right. = \frac{{45}}{{48}} + \frac{{80}}{3} = \frac{{1345}}{{48}}\) \(\left( {d{m^2}} \right)\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \({T_0} = f({x_0}).({x_1} - {x_0}) = f(1).({x_1} - 1)\);

\({T_1} = f({x_1}).({x_2} - {x_1})\);

\({T_2} = f({x_2}).({x_3} - {x_2})\);

…

\({T_{n - 1}} = f({x_{n - 1}}).({x_n} - {x_{n - 1}})\);

b) \({T_0} = f({x_0}).({x_1} - {x_0}) = f({x_0}).({x_0} + \frac{1}{n} - {x_0}) = \frac{{f({x_0})}}{n}\);

\({T_1} = f({x_1}).({x_2} - {x_1}) = f({x_1}).({x_1} + \frac{1}{n} - {x_1}) = \frac{{f({x_1})}}{n}\);

\({T_2} = f({x_2}).({x_3} - {x_2}) = f({x_2}).({x_2} + \frac{1}{n} - {x_2}) = \frac{{f({x_2})}}{n}\);

…

\({T_{n - 1}} = f({x_{n - 1}}).({x_n} - {x_{n - 1}})\)

\(= f({x_{n - 1}}).({x_{n - 1}} + \frac{1}{n} - {x_{n - 1}}) = \frac{{f({x_{n - 1}})}}{n}\).

Vậy \({S_n} = {T_0} + {T_1} + {T_2} + ... + {T_{n - 1}}\)

\(= \frac{1}{n}[f({x_0}) + f({x_1}) + f({x_2}) + ... + f({x_{n - 1}})]\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ta có f(2) = 2.2 = 4. Do đó giao điểm của đồ thị f(x) = 2x và đường thẳng x = 2 có tọa độ (2;4).

Đường thẳng x = 2 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Giả sử A(2;4) và B(2;0).

Ta có \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OB.AB = \frac{1}{2}2.4 = 4\).

b) Ta có \(F(x) = \int {f(x)dx} = \int {2xdx} = {x^2} + C\).

Xét \(F(2) - F(0) = {2^2} + C - ({0^2} + C) = 4\).

Vậy \(F(2) - F(0) = {S_{OAB}}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(F'(x) = G'(x) = {x^2} = f(x)\) nên \(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3}\), \(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\) là các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2}\).

b) \(F(b) - F(a) = \frac{{{b^3}}}{3} - \frac{{{a^3}}}{3}\).

\(G(b) - G(a) = \frac{{{b^3}}}{3} + C - \frac{{{a^3}}}{3} - C = \frac{{{b^3}}}{3} - \frac{{{a^3}}}{3}\).

\( \Rightarrow F(b) - F(a) = G(b) - G(a)\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int\limits_0^\pi {\cos udu} = \sin u\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. = \sin \pi - \sin 0 = 0\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int\limits_0^1 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_0^1 = 1 - 0 = 0\).

\(2\int\limits_0^1 {xdx} = \left. {2\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 = \left. {{x^2}} \right|_0^11 - 0 = 0\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {2xdx} \) = \(2\int\limits_0^1 {xdx} \).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int\limits_0^\pi {\frac{4}{3}\sin xdx} = \frac{4}{3}\int\limits_0^\pi {\sin xdx} = \frac{4}{3}.2 = \frac{8}{3}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\int\limits_0^1 {(2x + 3)dx} = \left. {\left( {{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = 1 + 3 = 4\).

\(\int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_0^1 {3dx} = \left. {{x^2}} \right|_0^1 + \left. {3x} \right|_0^1 = 1 + 3 = 4\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {(2x + 3)dx} \) = \(\int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_0^1 {3dx} \).

b) \(\int\limits_0^1 {(2x - 3)dx} = \left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_0^1 = 1 - 3 = - 2\).

\(\int\limits_0^1 {2xdx} - \int\limits_0^1 {3dx} = \left. {{x^2}} \right|_0^1 - \left. {3x} \right|_0^1 = 1 - 3 = - 2\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {(2x - 3)dx} \) = \(\int\limits_0^1 {2xdx} - \int\limits_0^1 {3dx} \).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int\limits_1^2 {({x^3} - x)dx} = \int\limits_1^2 {{x^3}dx} - \int\limits_1^2 {xdx} = \frac{{{x^4}}}{4}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. - \frac{{{x^2}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right.\)

\( = \frac{{{2^4}}}{4} - \frac{{{1^4}}}{4} - \left( {\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{1^2}}}{2}} \right) = \frac{9}{4}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_0^1 + \left. {{x^2}} \right|_1^2 = 1 + 4 - 1 = 4\).

\(\int\limits_0^2 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_0^2 = 4\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {2xdx} \) = \(\int\limits_0^2 {2xdx} \).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)