Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Hướng dẫn giải

a) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;0;2} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {P'} \right)\) là \(\vec n' = \left( {1;0;1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 1.\)

Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {0^o}\).

Cách khác: Do \(\frac{2}{1} = \frac{2}{1}\) nên \(\vec n\) và \(\vec n'\) là hai vectơ cùng phương. Suy ra \(\left( P \right)\parallel \left( {P'} \right)\). Từ đó \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {0^o}\).

b) Một vectơ pháp tuyến của mặt đất \(\left( Q \right)\) là \(\vec m = \left( {0;0;1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec m} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = {45^o}\). Chứng minh tương tự, ta có \(\left( {\left( {P'} \right),\left( Q \right)} \right) = {45^o}.\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục như hình vẽ
$O(0 ; 0 ; 0), B(3 ; 0 ; 0), C(0 ; 1 ; 0), O^{\prime}(0 ; 0 ; 2), B^{\prime}(3 ; 0 ; 2), C^{\prime}(0 ; 1 ; 2)$.
a) Đường thẳng BO ' nhận $\overrightarrow{B O^{\prime}}=(-3 ; 0 ; 2)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}$ nhận $\overrightarrow{B^{\prime} C}=(-3 ; 1 ;-2)$ làm vectơ chỉ phương.
$$
\cos \left(B O^{\prime}, B^{\prime} C\right)=\frac{|(-3) \cdot(-3)+0.1+2 \cdot(-2)|}{\sqrt{(-3)^2+2^2} \cdot \sqrt{(-3)^2+1^2+(-2)^2}}=\frac{5}{\sqrt{182}}
$$

Suy ra $\left(B^{\prime}, B^{\prime} C\right) \approx 68,25^{\circ}$.
b) Mặt phẳng (OBC) Ì (Oxy) nên nhận $\vec{k}=(0 ; 0 ; 1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng ( $\mathrm{O} ' \mathrm{BC}$ ) có phương trình đoạn chắn là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{2}=1 \Leftrightarrow 2 x+6 y+3 z=6$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2 ; 6 ; 3)$
$$
\cos \left(\left(O^{\prime} B C\right),(O B C)\right)=\frac{|3|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{2^2+6^2+3^2}}=\frac{3}{7}
$$

Suy ra ((O'BC), $(O B C)) \approx 64,62^{\circ}$.
c) Đường thẳng $B^{\prime} C$ nhận $\overrightarrow{B^{\prime} C}=(-3 ; 1 ;-2)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng ( O 'BC) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2 ; 6 ; 3)$
$$
\sin \left(B^{\prime} C,\left(O^{\prime} B C\right)\right)=\frac{|(-3) \cdot 2+1 \cdot 6+(-2) \cdot 3|}{\sqrt{(-3)^2+1^2+(-2)^2} \cdot \sqrt{2^2+6^2+3^2}}=\frac{6}{7 \sqrt{14}}
$$

Suy ra $\left(B^{\prime} C,\left(O^{\prime} B C\right)\right) \approx 13,24^{\circ}$.

(Trả lời bởi datcoder)