Bài 2: Giới hạn của hàm số

Cho hai hàm số \(y=f\left(x\right)\) và \(y=g\left(x\right)\) cùng xác định trên khoảng \(\left(-\infty;a\right)\). Dùng định nghĩa chứng minh rằng nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=L\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}g\left(x\right)=M\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right).g\left(x\right)=L.M\)

Tìm giới hạn của các hàm số sau :

a) \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-2x-3}{x-1}\) khi \(x\rightarrow3\)

b)  \(h\left(x\right)=\dfrac{2x^3+15}{\left(x-2\right)^2}\) khi \(x\rightarrow-2\)

c)  \(k\left(x\right)=\sqrt{4x^2-x+1}\) khi \(x\rightarrow-\infty\)

d)  \(f\left(x\right)=x^3+x^2+1\) khi \(x\rightarrow-\infty\)

e)  \(h\left(x\right)=\dfrac{x-15}{x+2}\) khi \(x\rightarrow-2^+\) và khi \(x\rightarrow-2^-\)

Tính các giới hạn sau :

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x+3}{x^2+2x-3}\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+x\right)^3-1}{x}\)

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x-1}{x^2-1}\)

d) \(\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x-5}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}\)

e) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x-5}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}\)

f) \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x+2}\)

g) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x+3}-2}\)

h) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1-2x+3x^3}{x^3-9}\)

i) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{1}{x^2+1}-1\right)\)

j) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\left(x^2-1\right)\left(1-2x\right)^5}{x^7+x+3}\)

Cho hàm số :

                \(f\left(x\right)=\dfrac{2x^2-15x+12}{x^2-5x+4}\) có đồ thị như hình 4 

a) Dựa vào đồ thị, dự đoán giới hạn của hàm số \(f\left(x\right)\) khi \(x\rightarrow1^+;x\rightarrow1^-;x\rightarrow4^+;x\rightarrow4^-;x\rightarrow+\infty;x\rightarrow-\infty\)

b) Chứng minh dự đoán trên ?

Cho khoảng \(K,x_0\in K\) và hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên \(K\)\ \(\left\{x_0\right\}\)

Chứng minh rằng nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=+\infty\) thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc  \(K\)\ \(\left\{x_0\right\}\) sao cho \(f\left(c\right)>0\)