Bài 11. Hình thang cân

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình thang cân nên \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC};\widehat C = \widehat D;A{\rm{D}} = BC\)

Theo đề bài, ta có AE, BE lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {BA{\rm{D}}}\) và \(\widehat {ABC}\)

Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}};\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\)

Mà \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC}\) nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\)

Xét ∆ADE và ∆BCE có:

\(\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_2}}\) (chứng minh trên)

AD = BC (chứng minh trên)

\(\widehat {{D}} = \widehat {{C}}\) (chứng minh trên)

Do đó ∆ADE = ∆BCE (g.c.g).

Suy ra EC = ED (hai cạnh tương ứng).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AB và IJ.

Vì ABCD là hình thang cân nên \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {ABC};\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}};A{\rm{D}} = BC, AC = BD\)

Tam giác ICD cân tại I (vì \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}}\)) nên IC = ID.

Xét tam giác ABD và BAC có:

AB chung

AD = BC (cmt)

AC = BD (cmt)

=> ∆ABD = ∆BAC (c.c.c) => \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {BC{\rm{A}}}\)

Vì \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}};\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {BC{\rm{A}}}\) nên \(\widehat {J{\rm{D}}C} = \widehat {JC{\rm{D}}}\)

Tam giác JCD cân tại J (vì \(\widehat {J{\rm{D}}C} = \widehat {JC{\rm{D}}}\) ) nên JC = JD.

Xét ∆IJD và ∆IJC có:

IC = ID (chứng minh trên);

\(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {BC{\rm{A}}}\);

JC = JD (chứng minh trên).

Do đó ∆IJD = ∆IJC (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {D{\rm{IJ}}} = \widehat {C{\rm{IJ}}}\) (hai góc tương ứng).

Ta có ID = IC, AD = BC.

Mà ID = AI + AD; IC = IB + BC nên IA = IB.

Tam giác IAB cân tại I (vì IA = IB) có IO là tia phân giác \(\widehat {AIB}\)

Suy ra IO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vậy đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Do \(\widehat{A}+\widehat{D}=120^o+60^o=180^o\) 

\(\Rightarrow AB//CD\)

\(\Rightarrow\) ABCD là hình thang.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)