Bài 11. Hình thang cân

a: Ta có: \(\widehat{OCA}=\widehat{DCA}=\dfrac{\widehat{OCD}}{2}\)

\(\widehat{ODB}=\widehat{BDC}=\dfrac{\widehat{ODC}}{2}\)

mà \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)(ΔOCD cân tại O)

nên \(\widehat{OCA}=\widehat{DCA}=\widehat{ODB}=\widehat{BDC}\)

Xét ΔOCA và ΔODB có

\(\widehat{OCA}=\widehat{ODB}\)

OC=OD

\(\widehat{COA}\) chung

Do đó: ΔOCA=ΔODB

b: Ta có: ΔOCA=ΔODB

=>OA=OB

Xét ΔOCD có \(\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}\)

nên AB//CD

ΔOCA=ΔODB

=>AC=BD

Xét tứ giác ABCD có AB//CD và AC=BD

nên ABCD là hình thang cân

c: Xét ΔICD có \(\widehat{ICD}=\widehat{IDC}\)

nên ΔICD cân tại I

=>ID=IC

=>I nằm trên đường trung trực của DC(1)

ta có: OD=OC

=>O nằm trên đường trung trực của DC(2)

Từ (1),(2) suy ra OI là đường trung trực của DC

=>OI\(\perp\)DC

a: Xét ΔADB có

Q,M lần lượt là trung điểm của AD,AB

=>QM là đường trung bình của ΔADB

=>QM//BD và \(QM=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔCBD có

P,N lần lượt là trung điểm của CD,CB

=>PN là đường trung bình của ΔCBD

=>PN//BD và \(PN=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra QM//PN và QM=PN

=>MNPQ là hình bình hành

Xét ΔCAB có

I,N lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>IN là đường trung bình của ΔCAB

=>IN//AB và \(IN=\dfrac{AB}{2}\left(3\right)\)

Xét ΔDAB có

Q,K lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>QK là đường trung bình của ΔDAB

=>QK//AB và \(QK=\dfrac{AB}{2}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra IN//QK và IN=QK

=>INKQ là hình bình hành

b: ta có: INKQ là hình bình hành

=>IK cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra IK,MP,NQ đồng quy