Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hướng dẫn giải

a) Vì \(0<\alpha <\frac{\pi }{2} \) nên \(\sin \alpha  > 0\). Mặt khác, từ \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) suy ra

\(\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a}  = \sqrt {1 - \frac{1}{{25}}}  = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\)

Do đó, \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{1}{5}}} = 2\sqrt 6 \) và \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\)

b) Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi\) nên \(\cos \alpha  < 0\). Mặt khác, từ \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) suy ra

       \(\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}a}  = \sqrt {1 - \frac{4}{9}}  = -\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Do đó, \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{-\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = -\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) và \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{-\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{\frac{2}{3}}} = -\frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a)

Ta có:

\({\cos ^4}\alpha {\sin ^4}\alpha  = \left( {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \right) \\= {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha = {\cos ^2}\alpha  - (1 - {\cos ^2}\alpha ) \\= {\cos ^2}\alpha  - 1 + {\cos ^2}\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\)

(đpcm)

b)

Ta có:

\(\frac{{{{\cos }^2}\alpha  + {{\tan }^2}\alpha  - 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha \; + {{\tan }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} \\= \frac{{{{\tan }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} \\= \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = {\tan ^2}\alpha \)

(đpcm)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Trong 1 giây bánh xe quay được \(\frac{{11}}{5}\) vòng.

Vì 1 vòng bằng \({360^0}\) nên góc mà bánh xe quay được trong 1 giây là:

                 \(\frac{{11}}{5}{.360^0} = {792^0}\)

Vì 1 vòng bằng \(2\pi \) nên góc mà bánh xe quay được trong 1 giây là:

                 \(\frac{{11}}{5}.2\pi  = \frac{{22\pi }}{5}\;\left( {rad} \right)\)

b) Ta có: 1 phút = 60 giây

Trong 60 giây, bánh xe quay được số vòng: \(\frac{{11}}{5}.60 = 132\) vòng.

Chu vi bánh xe là \(C = 680\pi\) mm

Độ dài quãng đường người đó đi trong 1 phút là: \(680\pi. 132  =89760\pi\) mm

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)