Bài 2. Công thức lượng giác

Hướng dẫn giải

a) Ta có: VT = \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{{6}} =  \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(VP = \cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{6} = \frac{{1 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} =  \frac{{\sqrt 3 }}{2} = VT\)

Vậy \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\)

b) Ta có: \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos (a--b) = \cos a\cos \left( { - b} \right) + \sin a\sin \left( { - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)

c) Ta có: \(\sin \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right] = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\cos b + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin b\)

     \( = \left( {\cos \frac{\pi }{2}\cos a + \sin \frac{\pi }{2}\sin a} \right)\cos b + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\sin b = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

      \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \cos x.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sin x + \cos x\)

b) Ta có:

\(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan x}} = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\;\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(f\left( t \right) = {f_1}\left( t \right) + {f_2}\left( t \right) = 5\sin t + 5\cos t = 5\left( {\sin t + \cos t} \right) = 5\sqrt 2 \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Suy ra: \(k = 5\sqrt 2 ,\;\varphi  = \frac{\pi }{4}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

\(\sin 2a = \sin \left( {a + a} \right) = \sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a = 2\sin a\cos a\)

\(\cos 2a = \cos \left( {a + a} \right) = \cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1\)

\( = 1 - 2{\sin ^2}a\)

\(\tan 2a = \tan \left( {a + a} \right) = \tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\)

Suy ra: \(\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b + \cos a\cos b - \sin a\sin b = 2\cos a\cos b\)

Suy ra: \(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\;\)

b) Ta có: \(\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b + \sin a\cos b - \cos a\sin b = 2\sin a\cos b\)

Suy ra: \(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

\(A = \cos {75^0}\cos {15^0} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right] \\= \frac{1}{2}.\cos {60^0}.\cos {90^0} = 0\)

\(B = \sin \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right] \\= \frac{1}{2}\sin \left( { - \frac{{2\pi }}{{12}}} \right).\sin \left( {\frac{{12\pi }}{{12}}} \right) =  - \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{6}\sin \pi  = 0\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(u = a - b;v = a + b\).

Suy ra \(u + v = 2a \to a = \frac{{u + v}}{2}\)

\(u - v = 2b \to b = \frac{{u - v}}{2}\)

Ta có: \(\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\)

\(\cos u - \cos v =  - 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\)

\(\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\)

\(\sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

\(B = \left( {\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}} \right) + \cos \frac{{11\pi }}{9} = \left( {2\cos \frac{{\frac{\pi }{9} + \frac{{5\pi }}{9}}}{2}\cos \frac{{\frac{\pi }{9} - \frac{{5\pi }}{9}}}{2}} \right) + \cos \frac{{11\pi }}{9} = 2\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{{2\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9}\)

\( = \cos \frac{{2\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9} = 2\cos \frac{{\frac{{2\pi }}{9} + \frac{{11\pi }}{9}}}{2}\cos \frac{{\frac{{2\pi }}{9} - \frac{{11\pi }}{9}}}{2} = 2\cos \frac{{13\pi }}{{18}}\cos \frac{\pi }{2} = 0\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Khi nhấn phím 4, ta có sóng âm \(y = \sin \left( {2\pi .770t} \right) + \sin \left( {2\pi .1209t} \right)\)

b) Ta có:  \(\sin \left( {2\pi .770t} \right) + \sin \left( {2\pi .1209t} \right) = 2\sin \frac{{2\pi .770t + 2\pi .1209t}}{2}\cos \frac{{2\pi .770t - 2\pi .1209t}}{2}\)

\( =  - 2.\sin 1979\pi t.\sin 439\pi t\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)