Lời giải:
Đặt $x^2+4x+3=m$.
$m+1=x^2+4x+4=(x+2)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow m\geq -1$
Ta có:
$(x^2+4x+3)(x^2+4x+6)=m(m+3)=(m+1)^2+m-1\geq m-1\geq -1-1=-2$
Vậy $(x^2+4x+3)(x^2+4x+6)\geq -2$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Để BPT đã cho đúng với mọi $x$ thì $a=-2$