Question

Với các số ko âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1, tính Max, Min của P = \(\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}\)

Chị @Akai Haruma giải hộ e bài này ạ

Answer 1

Xin lỗi bạn bây giờ mình mới check được thông báo.

Bài này mình làm như sau:

Gọi biểu thức đã cho là $P$.

Tìm max:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(P^2\leq \left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\right)(1+1+1)(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=\frac{a}{a+b+a+c}+\frac{b}{b+c+b+a}+\frac{c}{c+a+c+b}\) (do $1=a+b+c$)

\(\leq \frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{b}{4}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+a}\right)+\frac{c}{4}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)

\(\Rightarrow \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)=\frac{3}{4}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow P^2\leq \frac{3}{4}.3=\frac{9}{4}\Rightarrow P\leq \frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

------------------------------------

Tìm min

Sử dụng BĐT quen thuộc \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq \sqrt{x+y+z}, \forall x,y,z\geq 0\) (CM BĐT này đơn giản bằng cách bình phương khai triển)

Ta có:
\(P\geq \sqrt{\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}}\)

\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+b+1}=\frac{a}{a+1}+\frac{b+c}{b+c+1}=\frac{a}{a+1}+\frac{1-a}{2-a}\)

Xét hiệu \(\frac{a}{a+1}+\frac{1-a}{2-a}-\frac{1}{2}=\frac{a-1}{a+1}-\frac{a-1}{2-a}=\frac{3a(1-a)}{2(a+1)(2-a)}\geq 0, \forall 0\leq a\leq 1\)

\(\Rightarrow \frac{a}{a+1}+\frac{1-a}{2-a}\geq \frac{1}{2}\)

Do đó: \(P\geq \sqrt{\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}}\geq \sqrt{\frac{1}{2}}\)

Vậy \(P_{\min}=\sqrt{\frac{1}{2}}\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,0,0)\) hoặc các bộ hoán vị của chúng.